P6453 [COCI2008-2009#4] PERIODNI

传送门

一道笛卡尔树的经典题。

我们用样例解释：

5

2 3 1 2 4

我们可以建一棵笛卡尔树使$h_i$满足小根堆性质，$i$满足二叉树性质

这棵笛卡尔树使这个直方图分成若5个矩阵，笛卡尔树上的每一节点代表一个矩阵，矩阵$x$的长就是以$x$点为根的子树大小$si{z}_x$，高度就是$h_x-h_{f{a}_x}$，这道题就转化成了树形DP问题了。

令$f_{i,j}$表示以$i$为根的子树放了$j$个相同的数的合法方案数

令$g_{i,j}$表示只在$i$的儿子所在的子树中放$j$个相同的数的合法方案数

则有：

$$\{\begin{array}{l}{g}_{i,j}=\sum _{k=0}^j{f}_{ls,k}\ast f_{rs,j-k}\\ f_{i,j}=\sum _{p=0}^j{g}_{i,p}\ast C_{si{z}_i-p}^{j-p}\ast C_{h_i-h_{f{a}_i}}^{j-p}\ast A_{j-p}^{j-p}\end{array}$$

解释：笛卡尔树的每个节点最多只有两个儿子，所以用算$g_{i,j}$时左儿子乘右儿子就可以了。

$g_{i,p}$就是从节点$i$的儿子中放$p$个相同的数的方案数

$C_{si{z}_i-p}^{j-p}$因为从节点$i$的儿子中选了$p$个相同的数，而每个相同的数不能同列，所以这$p$个数必然使用了$p$行，所以要从剩下$si{z}_i-p$行中选出$j-p$行用来放相同的数

$C_{h_i-h_{f{a}_i}}^{j-p}$因为不管选哪一列都不会跟它的儿子在同一行，所以可以从$h_i-h_{f{a}_i}$选$j-p$列放相同的数(不必管是否会在同一列，那是$C_{si{z}_i-p}^{j-p}$考虑的事)

$A_{j-p}^{j-p}$因为选出了$j-p$行$j-p$列，我们在选出的第$1$行可以选择将数放在$j-p$列中的任意一列，而选出的第二行可以选择将数放在$j-p-1$列中的任意一列，以此类推，有$A_{j-p}^{j-p}$中方案

计算答案：

输出$f_{rt,k}$，其中$rt$时树根，$k$是要放的相同的数的个数

时间复杂度：

$O(n{k}^2)$