欧拉定理学习笔记

欧拉定理：

若$gcd(a,m)=1$，则$a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$

证明：令$r_1,r_2,···,r_{\phi (m)}$为模m下的一个简化剩余系，则$a{r}_1,a{r}_2,···,a{r}_{\phi (m)}$也为模m下的一个简化剩余系,令$f=r_1\ast r_2\ast ···\ast r_{\phi (m)}$，则有：$f\equiv a{r}_1\ast a{r}_2\ast ···\ast a{r}_{\phi (m)}(\mathrm{mod}m)$

即$f\equiv f\ast a^{\phi (m)}(\mathrm{mod}m)$

因为$gcd(r_1\ast r_2\ast ···\ast r_{\phi (m)},m)=1$，所以上式两边同时约去$f$，就有$a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$

证毕。

特别的，当m为质数时$\phi (m)=m-1$，为费马小定理

关于简化剩余系的说明：

百度定义:在$m$的完全剩余系中与m互素的数构成的子集，如果模m的一个剩余类里所有数都与$m$互素，就把它叫做与模$m$互素的剩余类。在与模$m$互素的全体剩余类中，从每一个类中各任取一个数作为代表组成的集合，叫做模$m$的一个简化剩余系。

感性理解：与m互质的数且满足集合内任意$r_i\not\equiv r_j(\mathrm{mod}m)$的最大集合，eg:$G=\{1,2,3,4\}$为m=5的一个简化剩余系,$G=\{2,3,6,9\}$也为m=5的一个简化剩余系。

性质：当集合$A=\{a_1,a_2,···,a_n\}$为关于$m$的一个简化剩余系，若$gcd(k,m)=1$，则集合$B=\{k{a}_1,k{a}_2,···,k{a}_n\}$也为关于$m$的一个简化剩余系。

证明：因为$gcd(k,m)=1,gcd(a_i,m)=1$，所以$gcd(k{a}_i,m)=1$ (集合中的每个数都与m互质)又因为$m|̸k(a_j-a_i)$，所以集合中的每个数都不同余，共有n个数，与集合$A$一样，所以集合$B$为关于m的一个简化剩余系。

证毕

扩展欧拉定理：

$a^b=\{\begin{array}{ll}{a}^{b\mathrm{mod}\phi (m)}& b⩾\phi (m),gcd(a,m)=1\\ a^b& b<\phi (m)\\ a^{b\mathrm{mod}\phi (m)+\phi (m)}& b⩾\phi (m),gcd(a,m)>1\end{array}$

证明：

我们只考虑当$b⩾\phi (m)$的情况

1、当$gcd(a,m)=1$时

有$a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$

令$b=k\phi (m)+c$，则$c=bmod\phi (m)$

即$a^b\equiv a^c\ast a^{k\phi (m)}\equiv a^c\ast a^{\phi (m{)}^k}\equiv a^c\ast 1^k\equiv a^c\equiv a^{bmod\phi (m)}(\mathrm{mod}m)$

1、当$gcd(a,m)>1$时

设$gcd(a,m)=d,m=m_{1}d,a=a_{1}d$，则$gcd(a_1,m)=1$

有$a_1^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$

有$d^{\phi (m)}\ast a_1^{\phi (m)}\equiv d^{\phi (m)}(\mathrm{mod}m)$

即$a^{\phi (m)}\equiv d^{\phi (m)}(\mathrm{mod}m)$

下证：$d^{\phi (m)}\equiv d^{k\phi (m)}(\mathrm{mod}m)$，$k$是整数

因为$gcd()$