吉林大学 离散·图定义复习【人话】
吉林大学 离散·图定义复习【人话】
一、 图
图： 即简单图，无平行边，无自反边。
零图： 没有边的图 \(L(G) = \emptyset\) 。
平凡图： 只有一个点的图。
完全图： 任意两点相连的图。
单图： 没有环，没有平行边的图。
无向图： 可以有平行边，可以有自反边的图。
子图： 设 \(G\) ， \(H\) 是图，如果 \(H\) 的点集和边集都是 \(G\) 的对应的子集，则称 \(H\) 是 \(G\) 的子图。
支撑子图：如果 \(H\) 是 \(G\) 的子图，并且 \(P(H) = P(G)\) ，则称 \(H\) 是 \(G\) 的支撑子图。
路： 相邻点组成的序列。
简单路： 除了起点与终点，其他点互不相同的路。
有权图： 每一条边 \(l\) ，都附带一个权重 \(w(l)\) ，则称为权图。
二、树
树： 如果图 \(G\) 是连通的，并且无回路，则称 \(G\) 为树。
森林： 如果图 \(G\) 无回路（可能不连通），则称 \(G\) 为森林。
(1). \(G\) 是树
(2). \(G\) 连通并且删去 \(G\) 的任意一边，所得的图都不连通。
(3). 对 \(G\) 中的任意两点 \(v, v'(v \neq v')\) ，恰有一条从 \(v\) 到 \(v'\) 的简单路。
(4). \(G\) 不含回路，并且G有 \(n-1\) 条边。
(5). \(G\) 连通，并且G有 \(n-1\) 条边。
支撑树：任意有限连通图必有一支撑子图是树，则称此支撑子图为支撑树。
三、有向图 欧拉路
有向图： 边有方向 是弧。可以有多条弧，可以有反身弧。
有向图 Vs 简单图
(1). 简单图中 \(uv\) 和 \(vu\) 是同一条边。有向图中不是。
(2). 简单图中无平行边，无反身边。有向图中可以有。
(3). 有限（简单）图边数是有限的。有限有向图边数可以是无限的。
有向路： 相邻点组成的序列。
简单有向路： 是简单的。除了起点和终点，其他点互不相同。
有向回路：从点 \(v\) 到自身的简单有向路，被称为有向回路。
强连通： 如果图 \(G\) 中任意两点 \(v, v'(v \neq v')\) ，都有从 \(v\) 到 \(v'\) 的有向路，则称 \(G\) 是强连通的。
根： 如果图 \(G\) 中的任意一点 \(v(v \neq r)\) ，都有从 \(v\) 到 \(r\) 的有向路，称 \(r\) 为 \(G\) 的根。
有向树： 如果图 \(G\) 中有一点 \(r\) ，满足
(1). \(G\) 中的任意一点 \(v(v \neq r)\) ，都恰是一条弧的起点。出度均为1。
(2). \(r\) 不是任一条弧的起点。
(3). \(r\) 是根。
漠视图： (1). 删去弧的方向（变成边）。(2). 删去反身边。 (3). 删去平行边。
欧拉路(E路)：经过每条边恰好一次的有向路，起点和终点相同。欧拉路不是有向回路，因为欧拉路不一定简单。
欧拉图(E图)：包含一条欧拉路的有向图。
平衡： 如果图 \(G\) 中的每个点输入输出次数都相等，则说 \(G\) 是平衡的。
E图的充分必要条件1：
设图 \(G\) 是无孤立点的欧拉图，当且仅当 \(G\) 是平衡的，并且强连通。
E图的充分必要条件2：
设图 \(G\) 是欧拉图，当且仅当 \(G\) 中的每一点度数都为偶数
E图的充分必要条件3：
设图 \(G\) 是无孤立点的欧拉图，当且仅当 \(G\) 是平衡的，且 \(G\) 的漠视图 \(G_0\) 是连通的。
四、 哈密顿路
哈密顿路(H路)： 经过每个点恰好一次的路。
哈密顿回路(H回路)：经过每个点恰好一次的路，起点和终点相同。
哈密顿图(H图)： 包含一条哈密顿回路的图。
H图的必要条件：
设图 \(G\) 是H图，则有 \(W(G-S) \leq |S|\) 。即删去一些点后，剩下图的连通分支数 $ \leq $ 去掉的点数
H图的充分条件1：
设图 \(G\)，图 \(G\) 的点数大于等于3个，当图 \(G\) 中的最小度 \(\geq\) 点数的1/2 时，图 \(G\) 是H图。
闭合图： 反复连接 \(G\) 中不相邻的并且其度数之和不小于图的点数的点对，直到没有这样的点对，得到了闭合图
H图的充分必要条件2：
设图 \(G\) 是H图，当且仅当其闭合图 \(C(G)\) 是H图。
H图的充分条件3：
设有图 \(G\) 的度序列，\((d_1, d_2, d_3, ... , d_r)\) ，这个度序列是不减度序列，且 \(r \geq 3\) 。如果不存在这样的 \(，m，m \lt r/2\)，使得 \(，d_m \leq m， \quad d_{r-m} \lt r-m\)。
即在不减度序列中，前一半的度要大于序号，后一半的度要大于等于序号。
H图的充分必要条件4：
若 \(1 \leq m \lt n/2\) ，则图 \(C_{m,n}\) 是非H图
H图的充分必要条件5：
若 \(G\) 为非H图，\(r \geq 3\) ，则 \(G\) 由某个 \(C_{,m,r}\) 所增大
H图的充分必要条件6：
设图 \(G\) 有n个点（ \(n \geq 3\) ）
任意两点的度数和 \(\geq n-1\)，则该图G有H路。
任意两点的度数和 \(\geq n\)，则该图G是H图。
