吉林大学 离散·图定义复习【人话】

吉林大学 离散·图定义复习【人话】

目录

• 吉林大学 离散·图定义复习【人话】
  • 一、 图
  • 二、树
  • 三、有向图 欧拉路
  • 四、 哈密顿路

一、 图

图： 即简单图，无平行边，无自反边。

零图： 没有边的图 $L(G) = \emptyset$ 。

平凡图： 只有一个点的图。

完全图： 任意两点相连的图。

单图： 没有环，没有平行边的图。

无向图： 可以有平行边，可以有自反边的图。

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子图： 设 $G$ ， $H$ 是图，如果 $H$ 的点集和边集都是 $G$ 的对应的子集，则称 $H$ 是 $G$ 的子图。

支撑子图：如果 $H$ 是 $G$ 的子图，并且 $P(H) = P(G)$ ，则称 $H$ 是 $G$ 的支撑子图。

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路： 相邻点组成的序列。

简单路： 除了起点与终点，其他点互不相同的路。

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有权图： 每一条边 $l$ ，都附带一个权重 $w(l)$ ，则称为权图。

二、树

树： 如果图 $G$ 是连通的，并且无回路，则称 $G$ 为树。

森林： 如果图 $G$ 无回路（可能不连通），则称 $G$ 为森林。

(1). $G$ 是树

(2). $G$ 连通并且删去 $G$ 的任意一边，所得的图都不连通。

(3). 对 $G$ 中的任意两点 $v, v'(v \neq v')$ ，恰有一条从 $v$ 到 $v'$ 的简单路。

(4). $G$ 不含回路，并且G有 $n-1$ 条边。

(5). $G$ 连通，并且G有 $n-1$ 条边。

支撑树：任意有限连通图必有一支撑子图是树，则称此支撑子图为支撑树。

三、有向图 欧拉路

有向图： 边有方向 是弧。可以有多条弧，可以有反身弧。

有向图 Vs 简单图

(1). 简单图中 $uv$ 和 $vu$ 是同一条边。有向图中不是。

(2). 简单图中无平行边，无反身边。有向图中可以有。

(3). 有限（简单）图边数是有限的。有限有向图边数可以是无限的。

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有向路： 相邻点组成的序列。

简单有向路： 是简单的。除了起点和终点，其他点互不相同。

有向回路：从点 $v$ 到自身的简单有向路，被称为有向回路。

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强连通： 如果图 $G$ 中任意两点 $v, v'(v \neq v')$ ，都有从 $v$ 到 $v'$ 的有向路，则称 $G$ 是强连通的。

根： 如果图 $G$ 中的任意一点 $v(v \neq r)$ ，都有从 $v$ 到 $r$ 的有向路，称 $r$ 为 $G$ 的根。

有向树： 如果图 $G$ 中有一点 $r$ ，满足

​ (1). $G$ 中的任意一点 $v(v \neq r)$ ，都恰是一条弧的起点。出度均为1。

​ (2). $r$ 不是任一条弧的起点。

​ (3). $r$ 是根。

漠视图： (1). 删去弧的方向（变成边）。(2). 删去反身边。 (3). 删去平行边。

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欧拉路(E路)：经过每条边恰好一次的有向路，起点和终点相同。欧拉路不是有向回路，因为欧拉路不一定简单。

欧拉图(E图)：包含一条欧拉路的有向图。

平衡： 如果图 $G$ 中的每个点输入输出次数都相等，则说 $G$ 是平衡的。

E图的充分必要条件1：

​ 设图 $G$ 是无孤立点的欧拉图，当且仅当 $G$ 是平衡的，并且强连通。

E图的充分必要条件2：

​ 设图 $G$ 是欧拉图，当且仅当 $G$ 中的每一点度数都为偶数

E图的充分必要条件3：

​ 设图 $G$ 是无孤立点的欧拉图，当且仅当 $G$ 是平衡的，且 $G$ 的漠视图 $G_0$ 是连通的。

四、 哈密顿路

哈密顿路(H路)： 经过每个点恰好一次的路。

哈密顿回路(H回路)：经过每个点恰好一次的路，起点和终点相同。

哈密顿图(H图)： 包含一条哈密顿回路的图。

H图的必要条件：

​ 设图 $G$ 是H图，则有 $W(G-S) \leq |S|$ 。即删去一些点后，剩下图的连通分支数 $\leq$ 去掉的点数

H图的充分条件1：

​ 设图 $G$，图 $G$ 的点数大于等于3个，当图 $G$ 中的最小度 $\geq$ 点数的1/2 时，图 $G$ 是H图。

闭合图： 反复连接 $G$ 中不相邻的并且其度数之和不小于图的点数的点对，直到没有这样的点对，得到了闭合图

H图的充分必要条件2：

​ 设图 $G$ 是H图，当且仅当其闭合图 $C(G)$ 是H图。

H图的充分条件3：

​ 设有图 $G$ 的度序列，$(d_1, d_2, d_3, ... , d_r)$ ，这个度序列是不减度序列，且 $r \geq 3$ 。如果不存在这样的 $，m，m \lt r/2$，使得 $，d_m \leq m， \quad d_{r-m} \lt r-m$。

​ 即在不减度序列中，前一半的度要大于序号，后一半的度要大于等于序号。

H图的充分必要条件4：

​ 若 $1 \leq m \lt n/2$ ，则图 $C_{m,n}$ 是非H图

H图的充分必要条件5：

​ 若 $G$ 为非H图，$r \geq 3$ ，则 $G$ 由某个 $C_{,m,r}$ 所增大

H图的充分必要条件6：

​ 设图 $G$ 有n个点（ $n \geq 3$ ）

​ 任意两点的度数和 $\geq n-1$，则该图G有H路。

​ 任意两点的度数和 $\geq n$，则该图G是H图。