卷积是一种将两个信号组合成第三个信号的数学方法。它是数字信号处理中最重要的一项技术。使用脉冲分解的策略，系统由一个叫做脉冲响应的信号来描述。卷积很重要，因为它关系到三个感兴趣的信号：输入信号、输出信号和脉冲响应。本章从两个不同的角度介绍卷积，称为输入侧算法和输出侧算法。卷积为DSP提供了数学框架；在本书中没有比这更重要的了。
三角函数和脉冲响应
上一章介绍了如何将一个信号分解为一组称为脉冲的成分。脉冲是一个由所有零组成的信号，除了一个非零点。实际上，脉冲分解提供了一种逐个样本分析信号的方法。上一章还介绍了DSP的基本概念：输入信号被分解成简单的加法分量，每个分量都通过一个线性系统，并对产生的输出分量进行合成（添加）。这种分而治之的过程产生的信号与直接将原始信号通过系统得到的信号是相同的。虽然有许多不同的分解方法，但有两种方法构成了信号处理的主干：脉冲分解和傅里叶分解。当使用脉冲分解时，这个过程可以用一个叫做卷积的数学运算来描述。在这一章（以及接下来的大部分章节），我们将只处理离散信号。卷积也适用于连续信号，但其数学运算更为复杂。我们将在第13章研究如何处理连续信号。
卷积
脉冲响应在某些应用中会有不同的名称。如果所考虑的系统是一个滤波器，脉冲响应被称为滤波器核，卷积核，或简单地称为核
在图像处理中，脉冲响应被称为点扩散函数。虽然这些术语的使用方式略有不同，但它们都是指同一件事，即当输入为delta函数时，系统产生的信号。
现在我们来看看卷积的详细数学原理。在数字信号处理中，卷积可以用两种不同的方式来理解。第一种是从输入信号的角度来看待卷积。这涉及到分析输入信号中的每个样本如何对输出信号中的许多点做出贡献。第二种方法是从输出信号的角度来看待卷积。这要研究输出信号中的每个样本是如何从输入信号中的许多点接收信息的。
请记住，这两种观点是对同一数学运算的不同思考方式。第一个观点很重要，因为它提供了对卷积与DSP关系的概念性理解。第二个观点描述了卷积的数学运算。这就是你在DSP中遇到的最困难的任务之一：使你的概念性理解与用于交流思想的杂乱无章的数学相适应。
输入侧算法
一个重要的属性。卷积是交换性的：a[n]b[n] = b[n]a[n]。 数学上并不关心哪个是输入信号，哪个是脉冲响应，只关心两个信号是相互卷积的。尽管数学可能允许，但交换这两个信号在系统理论中没有物理意义。输入信号和脉冲响应是两个完全不同的东西，交换它们是没有意义的。换元特性提供的是一个数学工具，用于操作方程以实现各种结果。
输出端算法
加权输入的总和
一个线性系统的特性完全由其脉冲响应来描述。这是输入方算法的基础：输入信号中的每一点都为输出信号贡献了一个经过缩放和移位的脉冲响应版本。这样做的数学后果导致了输出端算法：输出信号中的每个点都收到了来自输入信号中许多点的贡献，再乘以翻转的脉冲响应。虽然这都是事实，但它并没有提供卷积在信号处理中的重要原因的全部内容。
再看看图6-8中的卷积机，忽略虚线框内的信号是一个脉冲响应。把它看作是一组刚好嵌入流程图中的称重系数。在这种观点中，输出信号中的每个样本等于加权输入的总和。输出中的每个样本都受到输入信号中的样本区域的影响，这是由选择的权重系数决定的。例如，设想有十个权重系数，每个系数的值为十分之一。这使得输出信号中的每个样本都是输入的十个样本的平均值。
进一步说，权衡系数不需要限制在被计算的输出样本的左边。例如，图6-8显示y[6]是由：x[3]、x[4]、x[5]和x[6]计算而来。把卷积机看作是加权输入的总和，加权系数可以围绕输出样本对称地选择。例如，y[6]可能收到来自：x[4]、x[5]、x[6]、x[7]和x[8]的贡献。使用与图6-8相同的索引符号，这五个输入的权重系数将被保存在：h[2]、h[0]、h[-1]和h[-2]。换句话说，与我们选择的对称权重系数相对应的脉冲响应需要使用负的指数。我们将在下一章再来讨论这个问题。
在数学上，这里只有一个概念：由公式6-1定义的卷积。然而，科学和工程问题从两个不同的方向来处理这个单一的概念。有时你会想从脉冲响应的角度来考虑一个系统的情况。其他时候，你会把系统理解为一组权重系数。你需要熟悉这两种观点，以及如何在它们之间进行切换。
