DSP 数学工具回顾：从无穷级数 到 快速傅立叶变换

参考 ：《高等数学》（同济大学版），《深入浅出数字信号处理》（ 江志红 遍著）

不做精确描述和推导，只用自己能看懂的语言梳理 这些数学工具的内在逻辑

无穷级数

无穷级数是一种逼近理论，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的工具

电脑喜欢数值计算不喜欢搞解析推导

幂级数，函数的展开：

麦克劳林展开式

让一个级数的n阶导数和原函数n阶导数相匹配 ： 如果两个事物某个 局部的吻合极高，那么他们 在其他位置 也会很相似。

傅立叶级数（FS） ：

函数能展开成 幂级数，周期函数 我就展成三角函数

将一个较复杂的周期运动（振动）看成是（分解成）许多简谐振动的叠加

一般周期函数：

利用欧拉公式的到 ：

小结

幂级数和傅立叶级数 怎么搞出系数

幂级数的系数是求导得到的，求导会降次，一直降成常数，其他项为0 ，系数就出来了。

傅立叶级数的系数是在周期内积分得到的
利用三角函数基波和谐波在周期内正交性，也可以把系数搞出来

傅立叶变换 （FT）

周期 变成无穷大，就变成了非周期函数
级数求和就变成了函数积分
Fn 从一个个的系数，变成了连续的F(jω)

Fn 本来表示第n号（倍）谐波 的幅度和相位
F(jω) 则直接表示 ω 这个频率的幅度和相位 了

一个非周期信号可以看作是无限多个幅度无限小的复指数谐波之和，而其中每一个分量的复数振幅为：
F(jω) *dω/2pi

https://www.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY

拉普拉斯变换 （LT）

给信号乘一个 exp(-σ) 的因子，再进行 傅立叶变换的，得到的就是拉普拉斯变换

采样 从模拟到数字

模拟频率f、模拟角频率Ω和数字角频率ω三者的关系如下：

数字角频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率

时域的采样 造成频域的周期延拓

离散时间傅立叶变换（DTFT）

时域的采样 等于 频域的周期延拓
X（e^jω）是周期性的，并且周期为2π

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