旋转平移矩阵的构造

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旋转平移矩阵在VC和三维建模中是十分重要的。

将 A(i, j) 作为矩阵 A 中第 i 行、第 j 列的项。例如，A（3, 2）是矩阵 A 中第 3 行、第 2 列的项。假定 A、B 和 C 是矩阵，且 AB = C，则 C 的项计算如下：C(i, j) =（A 的第 i 行）?（B 的第 j 列）。

如果将平面中的点视为 1×2 矩阵，则可通过将该点乘以一个 2×2 矩阵来将该点变换。下图显示了应用于点 (2, 1) 的几个变换。

 

前图中显示的所有变换都是线性变换。某些其他变换（如平移）不是线性的，不能表示为与 2×2 矩阵相乘的形式。假定您要从点 (2, 1) 开始，将其旋转 90 度，在 x 方向将其平移 3 个单位，在 y 方向将其平移 4 个单位。可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作。

 

后面跟一平移（与 1×2 矩阵相加）的线性变换（与 2×2 矩阵相乘）称为仿射变换。将仿射变换存储于一对矩阵（一个用于线性部分，一个用于平移）的替换方案是将整个变换存储于 3×3 矩阵。若要使其起作用，平面上的点必须存储于具有虚拟第三坐标的 1×3 矩阵中。通常的方法是使所有的第三坐标等于 1。例如，矩阵 [2 1 1] 代表点 (2, 1)。下图演示了表示为与单个 3×3 矩阵相乘的仿射变换（旋转 90 度；在 x 方向上平移 3 个单位，在 y 方向上平移 4 个单位）。

 

在前面的示例中，点 (2, 1) 映射到了点 (2, 6)。请注意，3×3 矩阵的第三列包含数字 0，0，1。对于仿射变换的 3×3 矩阵而言，情况将总是如此。重要的数字是列 1 和列 2 中的 6 个数字。矩阵左上角的 2×2 部分表示变换的线性部分，第 3 行中的前两项表示平移。

 

在 GDI+ 中，可以在 Matrix 对象中存储仿射变换。由于表示仿射变换的矩阵的第三列总是（0，0，1），因此在构造 Matrix 对象时，只需指定前两列中的 6 个数。Matrix myMatrix = new Matrix(0, 1, -1, 0, 3, 4) 语句构造上面图形中显示的矩阵。

 复合变换

复合变换是一个接一个的变换序列。请考虑下面列表中的矩阵和变换：
矩阵 A 
旋转 90 度

矩阵 B 
在 x 方向上缩放 2 倍

矩阵 C 
在 y 方向上平移 3 个单位

如果从由矩阵 [2 1 1] 表示的点 (2, 1) 开始，并先后乘以 A、B、C，则点 (2, 1) 将按列出的顺序经历三种变换。

[2 1 1]ABC = [-2 5 1]

可以不将复合变换的三部分存储于三个独立的矩阵，而是一起乘以 A、B 和 C 来得到存储整个复合变换的单个的 3×3 矩阵。假定 ABC = D。则一个点乘以 D 得出的结果与一个点先后乘以 A、B、C 的结果相同。

[2 1 1]D = [-2 5 1]

下图显示了矩阵 A、B、C 和 D。

 

复合变换的矩阵可通过将几个单独的变换矩阵相乘而得到，这就意味着任何仿射变换的序列均可存储于单个的 Matrix 对象中。警告：

复合变换的顺序非常重要。一般说来，先旋转、再缩放、然后平移，与先缩放、再旋转、然后平移是不同的。同样，矩阵相乘的顺序也是重要的。一般说来，ABC 与 BAC 不同。

下图显示该矩阵。