LOJ3831 「IOI2022」囚徒挑战 题解

题目描述

这是一道交互题。

有两个袋子 \(A\) 和 \(B\) ，装有不同数量的硬币，保证硬币数量 \(\le n\) 。

任意时刻白板上都写有一个数，初始为 \(0\) 。

接下来有若干（不超过 \(n\) ）个人，依次进行如下操作：

• 记白板上的数为 \(i\) ，根据 s[i][0] 决策看哪个袋子，记袋中硬币个数为 \(j\) 。
• 指认哪个袋子硬币数量较少，或将白板上的数改为 s[i][j] 。

你的目标是构造 \(x\times(n+1)\) 的二维数组 s[i][j] ，使得这些人能够正确判断出哪个袋子硬币数量较少。

其中 s[i][0] 的值必须为 0 或 1 ，分别表示看 \(A\) 或 \(B\) 。

对 \(1\le j\le n\) ，若 s[i][j] 的值为 -1 或 -2 ，则分别表示指认 \(A\) 或 \(B\) 数量较少，否则 s[i][j] 应当是一个 \(\le x\) 的非负整数，表示这个人在白板上写下的数。

你需要实现以下函数：

• vector<vector<int>> devise_strategy(int N);

  返回你构造的二维数组。

数据范围

• \(1\le n\le 5000\) 。
• 你可以自行决定 \(x\) 的值，但需要保证 \(x\le 20\) 。

时间限制 \(\texttt{2s}\) ，空间限制 \(\texttt{2048MB}\) 。

分析

记 \(A\) 袋硬币数量为 \(a\) ， \(B\) 袋硬币数量为 \(b\) ，目标比较 \(a\) 和 \(b\) 的大小。

考虑二进制拆分，第一个人看 \(a\) 并写下最高位，第二个人看 \(b\) 后将最高位与 \(a\) 比较，如果不同则直接出结果，如果相同则写下次高位。

在构造 s 数组时，每两个人为一组，通过组的编号可以知道当前正在处理哪一位，组内分别处理上一位写下的是 \(0/1\) 的情况。

于是我们得到了一个 \(x=2\lceil\log_2n\rceil=26\) 的做法。如果换成三进制，可以得到 \(x=3\lceil\log_3n\rceil=24\) 。

有一个小优化：由于 \(a\neq b\) ，所以看完最后一位可以直接出结果。 \(x\) 降至 \(2\lceil\log_2n\rceil-2=24\) 。

事实上这个优化还可以推广，假设当前已经确定 \(a,b\in[l,r]\) ，那么如果看到 \(l\) 或 \(r\) 则可以直接出结果。

记 \(f_n\) 表示值域为 \(n\) 时 \(x\) 的最小值。根据上面这个优化，我们可以把原来的转移方程 \(f_n=\min f_{\lceil\frac nk\rceil}+k\) 改成 \(f_n=\min f_{\lceil\frac{n-2}k\rceil}+k\) 。

打表发现刚刚好 \(f_{5000}=20\) ，一条可行的路径（从高到低）为 \(3,3,3,3,2,2,2,2\) 。

递归实现，时间复杂度 \(\mathcal O(nx)\) 。

#include<bits/stdc++.h>
#include"prison.h"
using namespace std;
const int maxn=5005;
int n;
vector<vector<int>> s;
void dfs(int dep,int l,int r,int L,int R,int i,int lim)
{///当前第dep层,保证另一个数属于[l,r],自己属于[L,R],白板上的数为i,已经使用0~lim的编号
    if(l>r) return ;
    int k=dep<=4?3:2,len=(r-l-1+k-1)/k;
    ///注意同一个i会被dfs到多次,但是只处理j\in[L,R]的情况
    s[i][0]=dep&1?0:1;
    for(int j=L;j<=l;j++) s[i][j]=dep&1?-1:-2;
    for(int j=r;j<=R;j++) s[i][j]=dep&1?-2:-1;
    for(int t=1,x=l+1,y;x<=r-1;t++,x=y+1)
    {///第t部分为[x,y]
        y=min(x+len-1,r-1);
        for(int j=x;j<=y;j++) s[i][j]=lim+t;
        dfs(dep+1,x,y,l,r,lim+t,lim+k);
    }
}
vector<vector<int>> devise_strategy(int _n)
{
    n=_n,s.resize(21);
    for(int i=0;i<=20;i++) s[i].resize(n+1);
    dfs(1,1,n,1,n,0,0);
    return s;
}