CF566C Logistical Questions 题解

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题目描述

给定一棵 $n$ 个点的树，点有点权 $w_i$ ，边有边权 $l_i$ ，两点间的距离为边权和的 $\frac 32$ 次方。

求这棵树的带权重心 $rt$ ，以及所有点到 $rt$ 的带权距离和。

数据范围

• $1\le n\le 2\cdot 10^5$ 。
• $0\le w_i\le 10^8,1\le l_i\le 1000$ 。

相对或绝对误差不得超过 $10^{-6}$ 。

时间限制 $\texttt{2s}$ ，空间限制 $\texttt{250MB}$ 。

分析

假如当前在 $u$ ，决策往哪棵子树走最优。

假设重心从 $u$ 沿着边 $(u,v)$ 移动距离 $x$ ，可以得到：

$$f(x)=\sum_{p\in subtree(v)}a_p\cdot(dis_p-x)^\frac 32 +\sum_{p\notin subtree(v)}a_p\cdot(dis_p+x)^\frac 32\\ $$

$\texttt{Key observation}$ ：在 $u$ 逼近 $rt$ 的过程中，带权距离和不断变小。

感性理解一下（其实是博主不会证明）：

由于 $(k-x)^\frac 32$ 和 $(k+x)^\frac 32$ 都是下凸函数，所以 $f(x)$ 也是下凸函数。

由于下凸函数至多一个极小值点，所以 $u\to rt$ 函数值单调递减。

因此我们只需从任意一个点 $u$ 出发，每次往可以让带权距离和变小的方向走一步（后面会证明如果存在必唯一）即可。如果往所有方向走都在变大，就说明我们已经找到最小值了。

判断往某个方向走是否可能变小，本质上是在判断 $\lim_{x\to 0}\Delta(f(x))\lt 0$ 是否成立。

$$f'(x)=-\frac 32\sum_{p\in subtree(v)}a_p\sqrt{dis_p-x}+\frac 32\sum_{p\notin subtree(v)}a_p\sqrt{dis_p+x}\\ f'(0)=\frac 32\bigg(\sum_{p=1}^na_p\sqrt{dis_p}-2\sum_{p\in subtree(v)}a_p\sqrt{dis_p}\bigg)\\ $$

显然至多只有一个 $v$ 能让 $f'(0)\lt 0$ 。

注： $f'(0)\lt 0$ 表示往 $v$ 方向走带权距离和会变小，但不代表选择 $v$ 点比 $u$ 点更优。

---

接下来是一个常见套路：点分治重心移动。

我们花费 $\mathcal O(n)$ 的代价，却只移动了一步，难免有些浪费。

考虑点分治，假设当前在 $u$ 并且要往 $v$ 移动，我们直接移动到 $v$ 所在连通块的分治重心，这样候选集大小减半， $\log n$ 次移动后即可找到真正的带权重心。

时间复杂度 $\mathcal O(n\log n)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5,inf=1e9;
int n,s,u,v,w,rt,pos,tot;
double res=1e20;
double f[maxn],g[maxn];
int a[maxn];
int head[maxn],to[2*maxn],val[2*maxn],nxt[2*maxn];
int dp[maxn],sz[maxn];
bool vis[maxn];
void addedge(int u,int v,int w)
{
    nxt[++tot]=head[u],to[tot]=v,val[tot]=w,head[u]=tot;
}
void getroot(int u,int fa)
{
    dp[u]=0,sz[u]=1;
    for(int i=head[u];i!=0;i=nxt[i])
    {
        int v=to[i];
        if(vis[v]||v==fa) continue;
        getroot(v,u);
        dp[u]=max(dp[u],sz[v]),sz[u]+=sz[v];
    }
    dp[u]=max(dp[u],s-sz[u]);
    if(dp[u]<dp[rt]) rt=u;
}
void dfs(int u,int fa,int dep)
{
    f[u]=a[u]*sqrt(dep),g[u]=a[u]*pow(dep,1.5);
    for(int i=head[u];i!=0;i=nxt[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u,dep+val[i]);
        f[u]+=f[v],g[u]+=g[v];
    }
}
void solve(int u)
{
    vis[u]=true,dfs(u,0,0);
    if(g[u]<res) res=g[u],pos=u;
    for(int i=head[u];i!=0;i=nxt[i])
    {
        int v=to[i];
        if(vis[v]) continue;
        if(f[u]-2*f[v]<0)
        {
            s=sz[v],rt=0,getroot(v,0),solve(rt);
            break;
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        addedge(u,v,w),addedge(v,u,w);
    }
    s=n,dp[0]=inf,getroot(1,0),solve(rt);
    printf("%d %.10lf",pos,res);
    return 0;
}