LeetCode 53. Maximum Subarray

https://leetcode.com/problems/maximum-subarray/description/

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

More practice:

If you have figured out the O(n) solution, try coding another solution using the divide and conquer approach, which is more subtle.

解法一

• 动态规划。设f[i]表示第j处，以a[i]结尾的子序列的最大和。注意：f[i]并不是前i-1个数中最大的连续子序列之和，而只是包含a[i]的最大连续子序列的和。我们求出f[i]中的最大值，即为所求的最大连续子序列的和。
• 状态转移方程：f[i] = max{ a[i], f[i - 1] + a[i] }, target = max { f[i] }。
• max - C++ Reference
  • http://www.cplusplus.com/reference/algorithm/max/?kw=max

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//  main.cpp
//  LeetCode
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//  Created by Hao on 2017/3/16.
//  Copyright © 2017年 Hao. All rights reserved.
//

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        // empty array
        if (nums.empty()) return 0;
        
        int result = nums.at(0), f = 0;
        
        for (auto i = 0; i < nums.size(); i ++) {
            // f[i] = max{ a[i], f[i - 1] + a[i] }
            f = max(f + nums.at(i), nums.at(i));

            // target = max { f[i] }
            result = max(result, f);
        }
        
        return result;
    }
};

int main ()
{
    Solution testSolution;
    
    vector< vector<int> > vecTest{ {-2, 5, 3, -6, 4, -8, 6}, {}, {1, 2, 3, 4, 5} };
    
    for (auto v : vecTest)
        cout << testSolution.maxSubArray(v) << endl;
    
    return 0;
}

解法二

• 分治法，O(nlog(n))。分成两段分别求最大连续子序列的和，再归并。选定中间节点middle，则最大连续子序列和为max { 左边最大连续子序列和，右边最大连续子序列和，包含中间节点的最大连续子序列和 }。计算包含中间节点的最大连续子序列和，则是以中间节点向两边扩张，得到最大前缀+中间节点+最大后缀。

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//  main.cpp
//  LeetCode
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//  Created by Hao on 2017/3/16.
//  Copyright © 2017年 Hao. All rights reserved.
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#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        // empty array
        if (nums.empty()) return 0;
        
        int result = maxSubArrayHelpFunc(nums, 0, nums.size() - 1);
        
        return result;
    }
    
private:
    int maxSubArrayHelpFunc(vector<int>& nums, int left, int right) {
        // 叶子结点
        if (left == right) return nums.at(left);
        
        int middle = (left + right) / 2; // 中间节点
        int leftMax = maxSubArrayHelpFunc(nums, left, middle); // 左边最大连续子序列和
        int rightMax = maxSubArrayHelpFunc(nums, middle + 1, right); // 右边最大连续子序列和
        int preMax = nums.at(middle); // 包含中间节点的左边最大连续子序列和
        int sufMax = nums.at(middle + 1); // 包含中间节点的右边最大连续子序列和
        
        // 中间节点向左扩张
        int temp = 0;
        for (auto i = middle; i >= left; i --) {
            temp += nums.at(i);
            if (temp > preMax) preMax = temp;
        }
        
        // 中间节点向右扩张
        temp = 0;
        for (auto i = middle + 1; i <= right; i ++) {
            temp += nums.at(i);
            if (temp > sufMax) sufMax = temp;
        }
        
        // max { 左边最大连续子序列和，右边最大连续子序列和，包含中间节点的最大连续子序列和 }
        return max( max(leftMax, rightMax), preMax + sufMax);
    }
};

int main ()
{
    Solution testSolution;
    
    vector< vector<int> > vecTest{ {-2, 5, 3, -6, 4, -8, 6}, {}, {1, 2, 3, 4, 5} };
    
    for (auto v : vecTest)
        cout << testSolution.maxSubArray(v) << endl;
    
    return 0;
}