定义等

\[\overset{\circ}{U}(x_0,\delta)\Leftrightarrow0<\vert x-x_0\vert<\delta\\ U(x_0,\delta)\Leftrightarrow\vert x-x_0\vert<\delta\\ U_+(x_0,\delta)\Leftrightarrow0< x-x_0<\delta\\ U_-(x_0,\delta)\Leftrightarrow-\delta< x-x_0<0\\ \]

数列极限定义

\[\lim_{n \to \infty}X_n=A\Longleftrightarrow\forall \varepsilon>0;\exists N>0,\forall n>N;\lvert X_n-A\rvert<\varepsilon \]

数列保号性

\[\lim_{x\to n}X_n=a>0\Longrightarrow \exists N>0;\forall n>N,X_n>0\\推论： \\\exists N>0,\forall n>N,X_n\geqq0\Longrightarrow\lim_{x\to n}=a\geq0 \]

数列收敛必有界

\[\lim_{n\to\infty}X_n=a\Rightarrow\exists M>0,\forall n\in N^+,\vert X_n\vert\leq M \]

函数极限定义

\[\lim_{x \to x_0}f(x)=A\Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists \delta>0,\forall x\in \overset{\circ}{U}(x;\delta),\lvert f(x) -A\rvert<\varepsilon \]

\[\lim_{x\to \infty}f(x)=A \Longleftrightarrow\forall \varepsilon >0,\exists M>0,\forall\vert x\vert>M,\vert f(x)-A\vert<\varepsilon \]

函数局部有界

\[\lim_{x \to x_0}f(x)=A\Rightarrow\exists M>0,\exists \delta>0,x\in\overset{\circ}{U}(x_0,\delta),\vert f(x)\vert<M\\ \lim_{x\to \infty}f(x)=A\Rightarrow\exists M>0,\exists G>0,\vert x\vert>G,\vert f(x)\vert<M \]

函数保号性

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=a>0\Longrightarrow\exists \delta >0,\forall x\in\overset{\circ}{U}(x_0,\delta),f(x)>0\\ \lim_{x\to\infty}f(x)=a>0\Longrightarrow\exists M>0;\forall \vert x\vert>M,f(x)>0\\ 推论\\ \exists \delta>0,\forall x\in\overset{\circ}{U}(x_0;\delta),f(x)\geqq0\Longrightarrow\lim_{x\to x_0}f(x)=a\geq0\\ \exists M>0 \forall \vert x\vert>M,f(x)\geqq0\Longrightarrow\lim_{x\to \infty}f(x)=a\geq0 \]