线性代数的本质——引入几何视角

本次来分享一下我对B站宝藏资源（https://b23.tv/BV1ys411472E/p1）“从空间变换的角度理解线性代数” 所做的笔记，该系列video撇开了教科书式的讲解方式，从空间几何的角度出发，用对空间的变换描述方程组。这才是线性代数的本质！推荐越早看越好，学完线性代数若干年后才看到的我遗憾++

 该系列video从不同的名词出发，每个video从空间几何的角度理解一个名词，下面就是一个粗略的总结。

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 向量：线性代数中，向量通常以原点为起点。看作空间中从原点出发的箭头=一个列向量[x,y]^T，线性代数中常用的向量操作有向量的加法和数乘，加法可以看作空间中矢量的位移，从等效的角度来看；数乘可以看作向量在空间中的缩放（scaling）。

 

向量线性组合，张成空间和基：当用数字描述向量的时候，其都和选取的基有关。向量的线性组合是两个向量数乘的和。张成的空间是两个向量全部的线性组合构成的向量集合（av+bw, a,b ∈ R）。向量简化只保留终点坐标变为点。当考虑三维的情况，当第三个向量与另外两个不共面时，对第三个向量伸缩，使得该平面平移划过整个空间。

 

线性相关和非线性相关：当增加一个向量时，不改变所张成空间的维度是线性相关，否则是非线性相关。

 

矩阵与线性变换：transformation=function ，变换对空间上所有的点进行变换，该变换可以很复杂，扭曲空间，但线性代数只考虑线性变换。求变换前后的坐标只需要考虑基坐标如何变换（变换后的基向量是之前基向量的线性组合）。

 

理解矩阵：（矩阵代表一个特定的线性变换）将线性变换后的基向量i,j横向拼接在一起，形成矩阵（描述线性变换信息）。矩阵与向量相乘就是将线性变换作用于那个向量。

总之，线性变换是操作空间的一种行为，保证原点不动，网格线平行且等距分布。（线性满足“可加性”和“成比例”两条性质）

 

矩阵乘法与线性变换复合：两个矩阵相乘的几何意义：两个线性变换相继作用，也就是复合的线性变换，先左乘变换再左乘变换。类似于复合函数，从右向左读。矩阵乘法的不可交换性理解：变换的次序，更换不同的变换次序，将得到不同的空间变换结果。

之前的理解可推广到高维空间，如三维空间，三维空间的矩阵相乘在计算机图形学和机器人学应用广泛。

 

行列式：度量空间变换的比例，拉伸或缩放，如果det=2，则将空间面积变为原来2倍，det=0，说明将空间压缩到一条直线或者是一个点上。如果det为负值，说明空间定向发生了翻转（类似反面）

 

逆矩阵，列空间，秩与零空间：

线性代数重要的另外一个原因就是描述方程组，线性方程组。Ax=v，可以看作向量x经过空间变换A得到向量v，根据v求x，对v进行逆向空间变换（A^-1）得到x。

秩代表的是变换后的空间维数，所以2x2矩阵是[i,j]，也就是最大2维度，秩最大为2。

列空间：所有可能的输出向量Av构成的集合是列空间。（秩是列空间的维数）

零空间：经过变换后成为零向量的向量。

 

非方阵：如2行3列，2行代表当前只有两个坐标，2维空间，3列代表有三个基向量，3维空间，所以说明是3维度->2维的压缩

 

点积与对偶性：点积是对应向量的坐标相乘然后求和；也是两个向量的模长 x cosθ，也就是一个向量在另一个向量方向投影的长度乘以另一个向量的长度，再加上方向符号。联系二者之间是由于对偶性，将空间投影到数轴上，将其中一个向量看作是线性变换。

 

叉积（外积，向量积）：v X w 的绝对值是两向量所张成平行四边形的面积， v X w = -v X w。叉积的结果是一个向量，向量的长度是平行四边形面积，该向量方向垂直于两个平行四边形所构成的面（右手定则判断）。从线性变换的角度看叉积：

基变换：在不同的坐标系之间转换，用我们的坐标描述另一对基向量的坐标，然后对向量变换，得到我们坐标系下新的结果。

A^-1MA代表一种视角上的转换，一种数学上的转移作用

 

特征向量与特征值：特征向量就是在变换之后没有离开其张成直线的向量，如对空间进行基向量i变为（3，0）基向量j变为（1，2）的变换，i仍处于x轴，只不过长度变为3倍，所以x轴方向的向量是特征向量，该比例因子就是特征值，特征值的符号代表方向发生反向。引入特征向量与特征值的原因是空间变换的矩依赖于坐标系的表示，而引入这可以不依赖于特定坐标系。Av=λv

特征向量是基向量：特征基

 

抽象向量空间：函数可以看作向量，满足可加性和数乘性（如多项式->基函数），具体来说，这两条性质被具体化为8条公理来定义所有的“向量”构成的向量空间。

 

克莱姆法则（克拉默法则）：求解线性方程组的定理（适用于未知数个数与方程数相等）。结合之前的理论，重新看计算，深刻理解。克莱姆法则不是计算线性方程组的最好方法，高斯消元法更快，但理解这个有助于加强对基础概念的理解。仅考虑线性变换后维数不变。点积在变换后通常会改变，不变的叫做正交变换，用正交矩阵来求解线性变换很简单，

 

最后，主讲人说普适的代价是抽象，所以抽象的结果就是我们所学到的线性代数吧......