【组合数】Subpermutation-[2021中国大学生程序设计竞赛（CCPC）- 网络选拔赛（重赛）]

题目链接(http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=7133)

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Problem Description

A permutation of $n$ is a sequence of length $n$ in which each number from $1$ to $n$ appears exactly once. A $\textit{full-permutation}$ of $n$ is a sequence that connects all permutations of $n$ into one sequence in lexicographical order. Sequence $p_1, p_2, \dots, p_n$ is lexicographically smaller than $q_1, q_2, \dots, q_n$ if $p_i \lt q_i$ where $i$ is the minimum index satisfying $p_i \neq q_i$.

Here are some symbols used in this problem:

- $p_n$: the full-permutation of $n$. For example, $p_3 = \{1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1\}$ .
- $S_n$: the set of all permutations of $n$. For example, $S_3=\{\{1,2,3\},\{1,3,2\},\{2,1,3\},\{2,3,1\},\{3,1,2\},\{3,2,1\}\}$.
- $f(s,t)$: the number of contiguous subsequences in $s$ that are equal to $t$. For example, $f(\{1,2,12,1,2\},\{1,2\})=2$.

Now given $n$ and $m$, please calculate $\sum_{t\in{S_m}}f(p_n,t)$ modulo $10^9+7$.

Input

The first line contains one integer $T\ (1\le T\le 10^5)$, indicating the number of test cases.

The only line for each case contains two integers $n\ (1\le n\le 10^6)$ and $m\ (1\le m\le n)$, as described in the description.

Output

For each test case, output a single integer $\sum_{t\in{S_m}}f(p_n,t)$ modulo $10^9+7$.

Sample Input

4
2 1
2 2
3 2
4 3

Sample Output

2
2
4
15

Hint

For the third case in the sample, $p_3 = \{1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1\}$, $S_2=\{\{1,2\},\{2,1\}\}$. There are $4$ contiguous subsequences in $p_3$ that are equal to $\{1,2\}$ or $\{2,1\}$: $\{\underline{1,2},3,1,3,2,\underline{2,1},3,2,3,1,3,\underline{1,2},3,\underline{2,1}\}$.

题意

把所有$n$元排列按字典序从小到大排成一列，求其中有多少子串为$m$元{1 ~ m}排列，模$1e9+7$，$t$组询问,（$T ≤ 10 ^ 5,1 ≤m≤n≤10^6$）

思路

代码很简短，思路清楚比较重要，补题怕自己忘了所以记录一下（来自emo老师讲题，自己做的笔记)

分解子问题：

子问题一：在一个完整的$n$元排列里面有$m$元排列为子串的个数

假设$p_1,p_2……p_n$为$n$元排列，里面有一个子串是$m$元排列。$m$元排列的元素紧凑在一起，所以它自己的元素的排列方式有$m!$种，把它看成一个小团。{1~m}共包含$m$个数，剩下来的数共$n-m$个，剩下的数各为小团，把所有小团进行一个排列，所以总排列数为 $m$元排列小团的排列数 * 所有小团的排列数，即 $m! * (n - m + 1) !$

子问题二（难点）：$m$元排列有可能穿插在了两个相邻的$n$元排列中

$e.g.$ $n = 4,m = 4$

排列{$1,2,\underline{3,4,1,2,}4,3 ......$} 或者{$1,\underline{2,3,4,1,}2,4,3 ......$} 中前两个$n$元排列中也出现了合法的$m$元排列

这时候就要思考一下两个相邻的$n$元排列有什么性质

随便列举几个相邻排列

{$1,2,3,4$}{$1,2,4,3$} {$2,4,1,3$}{$2,4,3,1$}

我们会发现对于$n$元排列 $p_1,p_2 ... p_n$ 可以找到

$p_1,p_2,...p_k < p_{k + 1} > p_{k + 2} > ... > p_n$（$k$是最后一个满足$p_k < p_{k + 1}$ 的下标）

它的下一个排列中的$p_k$，会被原排列中的一个$p_j$ ($p_j > p_k$)替换掉,后面的元素倒着排列

那么下一个排列为

$p_1,p_2,...,p_{k-1}, p_j,p_n,p_{n-1}, ...p_{j+1} ,p_k,p_{j-1},...p_{k+1}$

它符合的性质是

$p_1,p_2,...,p_{k-1}, p_j>p_n<p_{n-1}< ... <p_{j+1} <p_k<p_{j-1}<...<p_{k+1}$

如果一个$m$元排列插在两个$n$元排列中间，从下标$i$开始，

①（$i≤k$） 该排列构造：$p_i,...,p_k,p_{k + 1},p_{k + 2},...,p_j,...,p_n,p_1,p_2...p_{i + m - 1 - n}$

思考这里有多少种排列方式

首先剩下的$n-m$个元素随便排，这部分是$(n - m)!$,$m$元序列里$1$到$m$本应随便排，但要求$1$到$m$在前一个$n$元排列中，一定要出现一个$p_k<p_{k + 1}$这样的数对才行，否则不合法，所以剩下的部分是$m!$减去不合法的情况，即减去$p_i>p_{i + 1} > ... >p _ n$这种情况，即$m! - C^m_{n-i+1} * [m-(n-i+1)]!$

所以方案数 = $(n - m)!*(m! - C^m_{n-i+1} * [m-(n-i+1)]!)$

②（$i ≥k+1$）该排列构造：$p_i$从$p_i≥p_{k+1}$的位置到下一个序列 (不敲了，荧光笔范围)

首先$1$到$m$一定是$1$到$n$里面最小的$m$个数，对这两个序列进行分析，发现$p_j$要大于$p_k$，所以如果$p_j$在$1$到$m$的序列里那$p_k$必定在里面，这和$p_i$的范围不符，因而只有一种可能就是$p_j$不在$1$到$m$的序列里，则最后一位的下标$(i+m-1-n) < j$，故这一情况的排列方式可以像上一种那样算出来

首先$1$到$m$怎么选，第一个排列里，规则同上，为$C^m_{n-i +1} * [m - (n - i + 1)] !$

剩下的数里，由于一定要包含$p_k < p_{k +1}$，所以剩下的数不能完全呈单调递减，需要减去单调递减一情况，为$((n-m)!-1)$

所以方案数 = $C^m_{n-i +1} * [m - (n - i + 1)] ! * ((n-m)!-1)$

总结来说，横跨两个$n$元排列的方案数为$\sum_{n - m + 2≤i≤n} (n - m)! * (m ! - C_m^{n - i +1} * (m - (n - i + 1))!+ C_m^{n - i + 1} * (m - (n -i +1))! * ((n - m)! - 1)$

再进行一些推导，发现

这两个颜色不同的地方是可以相互抵消的

那么化简就可得方案数 = $\sum_{i = n - m + 2} ^ n m! * (n - m)! - C_m^{n - i + 1}*(m - (n - i + 1))!$

= $\sum_{i = n - m + 2} ^ n m! * (n - m)! - m!/(n - i + 1) !$

= $(m-1) * m! * (n - m) !-m! *\sum_{i = n - m + 2} ^ n 1/(n - i + 1)!$

= $(m-1) * m! * (n - m) !-m! *\sum_{i = 1} ^ {m - 1} 1/i!$

这样，预处理之后，O(1)即可得横跨两个$n$元排列的方案数

而一个排列内的方案数，预处理下阶乘即可，两种排列方式的方法相加即得答案

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define llinf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define PII pair<int,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 100;
const int mod = 1e9 + 7;
int t, n, m;
int a[N];
int fact[N], invfact[N];
int quickpow(int a, int b) {//快速幂板子
	int res = 1;
	while (b > 0) {
		if (b & 1) res = res * a % mod;
		b >>= 1;
		a = a * a % mod;
	}
	return res;
}
void init() {//预处理
	fact[0] = 1;
	for (int i = 1; i < 1000001; i++) {
		fact[i] = fact[i - 1] * i % mod;
	}
	invfact[1000000] = quickpow(fact[1000000], mod - 2);
	for (int i = 1000000; i; i--) {
		invfact[i - 1] = invfact[i] * i % mod;
	}
	for (int i = 1; i < 1000001; i++) {
		invfact[i] = (invfact[i - 1] + invfact[i]) % mod;
	}
	return;
}
void solve() {
	cin >> n >> m;//输入 n m
	cout << (fact[m] * (n * fact[n - m] % mod - invfact[m - 1] + invfact[0] + mod) % mod) << endl;//直接输出公式求得答案
	return;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	init();
	while (cin >> t) {
		while (t--) {
			solve();
		}
	}
	return 0;
}
/*
	i raised a cute kitty in my code,
	my friend who pass by can touch softly on her head:)

		 ／l、
   Meow~（ﾟ､ 。７
		 |、 ~ヽ
		 じしf_,)ノ

*/