最小表示法学习笔记

定义

一个字符串 \(S\) 的最小表示法为该字符串所有循环同构字符串中字典序最小的一个。

比如：\(abca\)，对于他，循环同构字符串就有 \(aabc\)，\(caab\)，\(bcaa\)，其中字典序最小的是 \(aabc\)。那么我们说 \(aabc\) 就是 \(abca\) 最小表示法。

算法流程介绍

考虑对于一对子串 \(A,B\) ,它们在原字符串 \(S\) 中的起始位置分别为 \(i,j\) ,且它们的前 \(k\) 个字符均相同，也就是 \(s[i\dots i+k-1]=s[j\dots j+k-1]\)。

考虑下一个字符 \(s[i+k],s[j+k]\)：

1. 若 \(s[i+k]>s[j+k]\)，那么 \(i\) 以开头的子串，一定不是 \(S\) 的最小表示法。因为以 \(j\) 开头的子串的字典序一定小于以 \(i\) 开头的更小，因为 \(i\dots i+k\) 的情况一定不比 \(j\dots j+k\) 更优，则我们将 \(i+=k+1\)，然后 \(k\) 清零。

2. 若 \(s[i+k]<s[j+k]\)，和上面同理，则将 \(j+=k+1\)。

3. 若 \(s[i+k]=s[j+k]\)，那么继续往后面比较，也就是 \(k++\)。

Code

int getmin(int awa[]){
    int i=1,j=2,k=0;
    while(i<=n&&j<=n&&k<=n){
        int v=awa[(i+k-1)%n+1]-awa[(j+k-1)%n+1];
        if(!v) k++;
        else{
            if(v>0) i+=k+1;
            else j+=k+1;
            if(i==j) j++;
            k=0;
        }
    }
    return min(i,j);
}

优化

因为 \(i,j\) 之间的字符绝对不是该串最小表示的答案，所以在遇到下一个字符不相等时，就可以直接转换到 \(\max(i+k+1,j+1)\) 或 \(\max(j+k+1,i+1)\)。

Code

int getmin(int awa[]){
    int i=1,j=2,k=0;
    while(i<=n&&j<=n&&k<=n){
        int v=awa[(i+k-1)%n+1]-awa[(j+k-1)%n+1];
        if(!v) k++;
        else{
            if(v>0) i=max(i+k+1,j+1);
            else j=max(j+k+1,i+1);
            if(i==j) j++;
            k=0;
        }
    }
    return min(i,j);
}