乘法逆元及其三种求法

什么是逆元？

如果 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，且 $a$ 与 $p$ 互质 $gcd(a,p)=1$，则 $x$ 是 $a$ 在模 $p$ 意义上的逆元，也就是 $a\equiv x^{-1}(\mathrm{mod}p)$。

$\mathcal{first}$.费马小定理求逆元

我们知道费马小定理是：$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。
两边同时乘上 $a^{-1}$，就转换成 $a^{p-2}\equiv a^{-1}(\mathrm{mod}p)$。用一个快速幂即可得到 $a$ 的逆元。

int pow(int a, int b, int p){
    int ret=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ret=(ret*a)%p;
        a=(a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
int inv(int a, int p){
    return pow(a,p-2,p);
}

$\mathcal{second}$.拓展欧几里得求逆元

我们知道，拓展欧几里得是用来求解 $ax+py=gcd(a,p)$，又因为 $p$ 是质数，即 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。所以方程的 $x$ 就是 $a$的逆元。

void exgcd(int a,int b){
  	if(!b){x=1,y=0;return ;}
  	exgcd(b,a%b);
  	int t=x;
 	 x=y,y=t-a/b*y;
}
int main(){
  	int n,p;
  	scanf("%d%d",&n,&p);
  	exgcd(n,p);
  	cout<<(x%p+p)%x;
  	return 0;
}

third.线性推逆元

首先我们设，$k=\lfloor \frac{p}{i}\rfloor ,r=p\mathrm{mod}i$，那么就能知道 $k\times i+r\equiv 0(\mathrm{mod}p)$。

然后我们将等式两边同时乘上 $i^{-1}{r}^{-1}$，就能得到 $k\times r^{-1}+i^{-1}\equiv 0(\mathrm{mod}p)$。

把 $k\times r^{-1}$ 移到右边去，即 $i^{-1}\equiv -k\times r^{-1}(\mathrm{mod}p)$。

也就是 $i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i}\rfloor \times (p\mathrm{mod}i{)}^{-1}(\mathrm{mod}i)$。

inv[1]=1;
for(int i=2;i<p;++i)
    inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;