裴蜀定理

定理

二元一次方程 \(ax+by=c\) 的有解条件是 \(\gcd(a,b) \mid c\)。

证明

设 \(s=\gcd(a,b)\)，所以 \(s\mid a\)，并且 \(s\mid b\)。

又因为 \(x,y\) 为整数，所以 \(s\mid ax,s\mid by\)。

如果要使式子成立，则 \(c\) 一定是 \(s\) 的倍数。

所以 \(s\mid c\)，\(\gcd(a,b)\mid c\)。