Miller_rabin 素数测试 学习笔记

Miller_rabin 素数测试

一种用来判断素数的算法。

前置芝士

威尔逊定理

若 $p$ 为素数，$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p)$。

证明：
充分性证明：
如果 $p$ 不是素数，那么他的因数必定存在于$1,2,3,\dots ,p-1$ 之中，所以 $gcd((p-1)!,p)$，那么 $(p-1)!\not\equiv -1$。

必要性证明：

首先，我们知道 $$p-1\equiv -1(\mathrm{mod}p)$$
那么我们只需要证明 $(p-2)!\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ 就可以了。

设 $A=\{2,3\dots ,p-2\}$

对于 $x\in A$，肯定存在一个 $a\in A$，使得 $ij\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

当 $x=a$ 时，考虑二次剩余 $x^2\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

移项就可以得到 $(x+1)(x-1)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$，

那么只有两个解，$x\equiv 1(\mathrm{mod}p)$,$x\equiv p-1(\mathrm{mod}p)$，不成立。

所以其他情况都可以找到对应的 $a$。

所以 $(p-2)!\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，$(p-1)!\equiv p-1(\mathrm{mod}p)$。

费马小定理

若 $p\in \mathbb{P},gcd(a,p)=1$，则 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，

证明：
因为 $1,2,3,\dots ,p-1$ 是 $p$ 的完全剩余系，$a,p$ 互质，

所以 $a,2\ast a,3\ast a,4\ast a,\dots (p-1)\ast a$ 也是 $\mathrm{mod}p$ 的完全剩余系。

所以 $1\ast 2\ast 3\ast \cdots \ast (p-1)\equiv a\ast 2a\ast 3a\ast \cdots \ast (p-1)a(\mathrm{mod}p)$。

就是 $(p-1)!\equiv (p-1)!a^{p-1}(\mathrm{mod}p)$。

由威尔逊定理得出，$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p)$，

两边同时约去 $(p-1)!$，

所以可以得出 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

二次探测定理

若 $p$ 为素数，$x^2\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，那么$x\equiv \pm 1(\mathrm{mod}p)$。

证明：
原式移项就可以得到 $(x+1)(x-1)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$，

那么只有两个解，$x\equiv 1(\mathrm{mod}p)$,$x\equiv p-1(\mathrm{mod}p)$。

但是这些又和 Miller_rabin 有什么关系呢？

我们把 $p-1$ 分解为 $2^k\ast t$，当 $p$ 是素数时，则有 $a^{2^k\ast t}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

然后随机出一个数 $a$，可以算出 $a^t$，然后再自乘，就可以得到 $a^{2^k\ast t}$ ，也就是 $a^{p-1}$。

但如果我们在自乘之后 $\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，而之前 $\not\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，那么就违背了二次探测定理，则 $p$ 不是素数。

else

$Zwad$ 告诉我，若 $p$ 通过一次测试，则p不是素数的概率仅为25%。

那么用 $2,325,9375,28178,450775,9780504,1795265022$ 这几个数进行判断,在 $longlong$ 范围内能保证正确。

Code

例题：SP288 PON - Prime or Not

#include<bits/stdc++.h>
#define int __int128
#define N_4 10004
#define N_5 100005
#define N_6 1000006
#define Mod 1000000007
#define FOR(i,j,k) for(long long i=j;i<=k;++i)
#define ROF(i,j,k) for(long long i=j;i>=k;--i)
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch;
	ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') f=-f;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=x*10+(ch-'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
int T,n,tot;
int gg[6]={0,2,7,61,63,97};
bool isprime[500005];
int prime[500005],an[500005];
inline void Euler(int n){
	isprime[1]=true;isprime[0]=true;
	for(register int i=2;i<=n;i++){
		if(!isprime[i])
			prime[++tot]=i;
		an[i]=tot;
		for(register int j=1;j<=tot&&prime[j]*i<=n;j++){
			isprime[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0)
				break;
		}
	}
	return;
}
inline int ksm(int a,int b,int mod){
	int ans=1,p=a,g=b;
	while(g){
		if(g&1) ans=(ans*p)%mod;
		p=(p*p)%mod;
		g>>=1; 
	}
	return ans;
}
int mul(int a,int b,int p){return (a*b-(int)((__float128)a/p*b)*p+p)%p;}
inline bool miller_rabin(int P){
    if(P==1) return 0;
    int t=P-1,k=0;
    while(!(t&1)) ++k,t>>=1;
    for(register int i=1;i<=5;++i){
        if(P==gg[i]) return true;
        int a=ksm(gg[i],t,P),nxt=a;
        for(register int j=1;j<=k;++j){
            nxt=mul(nxt,nxt,P);
            if(nxt==1&&a!=1&&a!=P-1) return false;
            a=nxt;
        }
        if(a!=1) return false;
    }
    return true;
}
signed main(){
	T=read();
	Euler(500000);
	while(T--){
		n=read();
		if(n<500000){
			if(isprime[n]) cout<<"NO"<<endl;
			else cout<<"YES"<<endl;
		}
		else{
			if(!miller_rabin(n)) cout<<"NO"<<endl;
			else cout<<"YES"<<endl;
		}
	}
    return 0;
}