趣题：人的两只手十个手指头最多能数多少种数

复习微机原理实在无聊。。。想到了这个奇怪的问题

 

举几个栗子：

1)　　如果十个手指每一个表示一个数【就像幼儿园老师一开始教的那样】，一个手指都不伸出表示0，伸出第一个手指表示1，第二个表示2，......，可以数出11种数（0..10）

2)　　如果稍微改一下，两只手每一只表示一位，那么对于每只手，就有：

手势	表示的数字
一个手指都不伸	0
伸出第一个手指	1
第二个	2
第三个	3
第四个	4
第五个	5

　　　这样一只手可以表示6种信息。两只手加起来呢？由乘法原理，可以数出6*6=36种

　　　【原来幼儿园老师在骗我 Σ(っ °Д °;)っ

3)　　如果每个手指表示一位呢？对于每个手指，伸出表示1，不伸出表示0

　　　那么两只手就构成了一个十位的二进制数，范围从0（0000000000）到1023（1111111111），能数1024种

　　　【二进制的威力果然无穷 _(:з」∠)_

 

从上面来看好像第三种最厉害的样子。。那么能否证明呢？

首先我们引出第一个概念：信息量

设一个信息由n个符号表示，第k个符号出现的概率是Pk，那么

$H=- \sum ^{n}_{k=1}p_{k}\log_{2}p_{k}$

在我们的数数问题中，每种符号（0....X中每个数）的出现概率可以认为是相等的，那么即

$H=\log _{2}n$

设把十只手指头分成X位，每一位用Y个手指表示，那么X*Y=10，而且总信息量为

$H=X\cdot \log _{2}(Y+1)$　　　　　　//Y+1是因为还要考虑到0的情况

那么上面的问题就转化成了求这个函数的极值的问题。

这是个减函数，而我们的Y的取值又是离散的[1..10]，所以当Y=1的时候信息量H最大，也就是用二进制表示。

如果换种方式呢？比如3、2、3、2（分四位，每一位的手指头数分别是3,2,3,2），那么H=log2(3)+log2(2)+log2(3)+log2(2)≈7.17，还是不如二进制。蛤蛤

 

由这个奇怪的问题可以接着扩展出信息熵的概念：信息熵可以理解为事件整体的信息量的数学期望值。

下面的柿子中，Pk表示第k种可能事件的概率，log2(1/Pk)即这种可能事件的信息量

事件的不确定性越大，那么它的其中一种可能性的信息量就越大，总体的信息也越大。

如果一个事件是确定的（即概率为1），那么信息熵就是0了。

 

 

 另外还发现RuanYifeng大神一篇好玩的小文章：http://www.ruanyifeng.com/blog/2014/09/information-entropy.html

 

//Reference: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BF%A1%E6%81%AF%E8%AE%BA