uva11426 gcd、欧拉函数

题意：给出N，求所有满足i<j<=N的gcd(i,j)之和

这题去年做过一次。。。

 

设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+......+gcd(n-1,n)，那么answer=S[N]=f(1)+f(2)+...+f(N)。

先求出每一个f(n)。

令g(n,i)=【满足gcd(x,n)=i且x<N的x的数量】，i是n的约数

那么f(n)=sigma【i*g(n,i)】　　（i即gcd的值，g(n,i)为数量）

又注意到gcd(x,n)=i -> gcd(x/i,n/i)=1 -> x/i与n/i互质 -> 满足该条件的x/i有phi(n/i)个

那么再用欧拉函数就可以求出每一个f(n)啦~

如果找n的每一个约数i会有点慢，可以枚举i，令n=2*i，3*i，........（n是i的所有倍数且小于MAXN）

for (int i=1;i<=MX;i++)
　　for (int n=i*2;n<=MX;n+=i)
　　　　f[n]=f[n]+(i*phi[n/i]);

 

粗体部分的思想很常用，已加入数论模板豪华午餐╮(╯▽╰)╭

 

#include <stdio.h>
#include <string.h>
//using namespace std;
#define MX 4000005
#define LL long long

LL phi[MX],f[MX],S[MX];
int N;

void calc_phi(int n)
{
    for (int i=2;i<=n;i++)
        phi[i]=0;
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
        if (!phi[i])
            for (int j=i;j<=n;j+=i)
            {
                if (!phi[j])    phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
}

int main()
{
    calc_phi(MX);

    memset(f,0,sizeof(f));
    for (int i=1;i<=MX;i++)
        for (int n=i*2;n<=MX;n+=i)
            f[n]=f[n]+(i*phi[n/i]);

    S[2]=f[2];
    for (int i=3;i<=MX;i++)
        S[i]=S[i-1]+f[i];

    while(~scanf("%d",&N))
    {
        if (N==0)   break;
        printf("%lld\n",S[N]);
    }

    return 0;
}