BZOJ2818 欧拉函数

题意：求1--n中满足gcd(x,y)的值为质数的数对(x,y)的数目　　（ (x,y)和(y,x)算两个 ）

 

sol：

设p[i]是一个质数，那么以下两个命题是等价的：

1.gcd(x,y)=1

2.gcd(x*p[i],y*p[i])=p[i]

eg:gcd(36,25)=1，gcd(36*7,25*7)=7

 

所以对于1--n的所有质数p[i]，求一下1<=x,y<=n/p[i]中所有gcd(x,y)=1的数对的数目即可。

如何求1--r范围内所有互质数对的数目？

考虑欧拉函数φ(x)=1..x中与x互质的数的数目

设x<=y，那么这样就可以求出来了：

for y:=2 to r do　　　　//1不是质数也不是合数，而且1和任意数的gcd都等于1，应该除去
　　ans+=2*phi[y];           //(x,y)和(y,x)算两个
ans++;    //这是本题的特殊情况：当x==y时，gcd(y,y)的值也是质数

 

Solve函数是题解里用的，事先累加了所有2*phi[i]，速度要快一点点

Reference: http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8542292

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define LL long long
#define MMX 10000010
int phi[MMX],p[MMX];
LL psum[MMX];
bool pr[MMX];
LL nm,ret,n;

void calc_phi(int n)        //求1--n的欧拉函数，phi[i]
{                           //psum[n]:sum of phi[1..n]*2
    for (int i=2;i<=n;i++)
        phi[i]=0;
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
        if (!phi[i])
            for (int j=i;j<=n;j+=i)
            {
                if (!phi[j])    phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
    psum[1]=0;
    for (int i=2;i<=n;i++)
        psum[i]=psum[i-1]+phi[i]*2;
}

void isprime(LL n)     //求1--n的质数。pr[i]=1 : i is a prime
{
    nm=0;
    memset(pr,true,sizeof(pr));
    LL m=sqrt(n+0.5);
    pr[1]=false;
    for (LL i=2;i<=m;i++)
        if (pr[i])
        {
            for (LL j=i*i;j<=n;j+=i)
                pr[j]=false;
        }
    for (int i=1;i<=n;i++)
        if (pr[i])
        {
            nm++;
            p[nm]=i;
        }
}

LL Solve(int n)     //
{
    LL ans = 0;
    for(int i=1; i<=nm&&p[i]<=n; i++)
        ans += 1 + psum[n/p[i]];
    return ans;
}

int main()
{
    cin>>n;
    isprime(n);
    calc_phi(n);

    LL ret=0;
    for (int i=1;i<=nm;i++)
    {
        int r=n/p[i];
        for (int j=2;j<=r;j++)  //注意1不能包括进去，因为gcd(1,?)恒等于1
            ret+=2*phi[j];
        ret++;
    }
    cout<<ret<<endl;

    //cout<<endl<<Solve(n)<<endl;
    return 0;
}