同余、中国剩余定理

同余：a≡b (mod m)，表示a % m==b % m

同余式的运算法则：

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中国剩余定理出自《孙子算经》中的一个问题：
　　有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
这道题实际上就是解这么一个同余方程组：
x≡2 (mod 3)
x≡3 (mod 5)
x≡2 (mod 7)　　求解x

 

中国剩余定理：求解同余方程组
n≡a[1] (mod m[1])
n≡a[2] (mod m[2])
......
n≡a[i]  (mod m[i])
该方程组有解的条件：m[i]两两互质

至于该方程的解法，wikipedia上解释得很详细：

 int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
     if (b==0){
         x=1;y=0;
         return a;
     }
     else{
         int r=extend_gcd(b,a%b,y,x);
         y=y-x*(a/b);
         return r;
     }
 }
 
 int CRT(int a[],int m[],int n)
 {
     int M=1;
     for (int i=1;i<=n;i++) M*=m[i];
     int ret=0;
     for (int i=1;i<=n;i++)
     {
         int x,y;
         int tm=M/m[i];
         extend_gcd(tm,m[i],x,y);
         ret=(ret+tm*x*a[i])%M;
     }
     return (ret+M)%M;
 }

 

 

//Reference：http://blog.csdn.net/cyendra/article/details/38402869
    中国剩余定理还有一种迭代解法：
    Reference：http://scturtle.is-programmer.com/posts/19363.html