辗转相除法、扩展欧几里得

辗转相除法：求gcd(a,b)

扩展欧几里得：解关于x和y的方程：a*x+b*y=gcd(a,b)

　　　   推广：对于关于x和y的方程a*x+b*y=n

　　　　　　   有整数解的条件是n%gcd(a,b)==0

　　　　　　　所以这种方程可以这样解：

　　　　　　   先解方程a*x'+b*y'=gcd(a,b)

　　　　　　   因而x=x'*n/gcd(a,b) , y=y'*n/gcd(a,b)

若方程a*x+b*y=c的一组整数解为(x0,y0)，则它的任意整数解都可以写成(x0+k*b',y0-k*a')。

其中a'=a/gcd(a,b)，b'=b/gcd(a,b)。  k取任意整数

 

总结一下这类问题的解法：
对于方程ax+by=c
设tm=gcd(a,b)
先用扩展欧几里得求出方程ax+by=tm的解x0、y0
然后有a*x0+b*y0=tm
令x1=x0*(c/tm)，y1=y0*(c/tm)
则a*x1+b*y1=c
x1、y1即原方程的一个特解
这个方程的通解：xi=x1+k*(b/m)，yi=y1-k*(a/m)
另：如果要求yi的最小非负解？令r=a/tm，则解y2=(y1%r+r)%r
其他类似的要求自己用纸算一算，YY一下就行了

 

    int gcd(int a,int b){  
        if (b==0) return a;  
        return gcd(b,a%b);  
    }  


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    int extgcd(int a,int b,int& x,int& y){  
        int d=a;  
        if (b!=0){  
            d=extgcd(b,a%b,y,x);  
            y-=(a/b)*x;  
        }else{  
            x=1;y=0;  
        }  
        return d;  
    }  

Reference：http://blog.csdn.net/lhfight/article/details/7755994

　　　　　　http://blog.sina.com.cn/s/blog_6f71bea30100o4v9.html