三分法求极值

二分法适用于单调函数求极值的问题

 

如果遇上了不单调的函数呢？like this:

 

对于这种在指定区间里只有一个极值点的函数（凸函数凹函数都可以），我们可以使用三分法求极值

三分极值法的思想：对于区间[l,r]，令m=(l+r)/2即中点，再令mm=(m+r)/2，即右半段的中点。这样l,m,mm,r四个点就把区间分成了三份。

此时若m更靠近极值点，则令r=mm。否则令l=m；这样就把区间缩小了。

对于用float类型表示的连续函数，可以设定一个迭代次数size，例如可以取size=100。当运行了100次之后差不多就能取到极值点了2333

 

例如下面的程序：求二次函数y=(x-10)^2在区间[0,30]上的最小值

#include <iostream>
using namespace std;

float l,r,m,mm,ans1,ans2;

float fun(float x)
{
    return ((x-10)*(x-10));
}

int main()
{
    int size=100;
    l=0;    r=30;
    while (size--)
    {
        m=(l+r)/2;
        mm=(m+r)/2;
        ans1=fun(m);
        ans2=fun(mm);
        if (ans1<ans2) r=mm;
            else l=m;
    }

    cout<<ans1<<endl;
　　 cout<<m<<endl;
    return 0;
}

输出：0　　10

 

求最大值？改成ans1>ans2即可

 

 

注意：若区间内该函数有两个峰（or谷），则不一定能得到正确的解。比如像这样的函数：

拿鼠标手绘的图片，略渣==

如图，在靠近r的位置有个横坐标很短的峰，尽管这个峰是最大值，但是无奈m和mm点都在它左边，而且m点的函数值大于mm，会导致r=mm。这样这个真正的最值点就被错过了。

 

 

 三分法在一些数学题（特别是计算几何题）中很有用。

 

 

 Reference：

http://chenjianneng3.blog.163.com/blog/static/128345126201033101044920/

 http://blog.csdn.net/eastmoon502136/article/details/7706479