洛谷 P1373 小a和uim之大逃离 四维DP
题目背景
小a和uim来到雨林中探险。突然一阵北风吹来，一片乌云从北部天边急涌过来，还伴着一道道闪电，一阵阵雷声。刹那间，狂风大作，乌云布满了天空，紧接着豆大的雨点从天空中打落下来，只见前方出现了一个披头散发、青面獠牙的怪物，低沉着声音说：“呵呵，既然你们来到这，只能活下来一个！”。小a和他的小伙伴都惊呆了！
题目描述
瞬间，地面上出现了一个n*m的巨幅矩阵，矩阵的每个格子上有一坨0~k不等量的魔液。怪物各给了小a和uim一个魔瓶，说道，你们可以从矩阵的任一个格子开始，每次向右或向下走一步，从任一个格子结束。开始时小a用魔瓶吸收地面上的魔液，下一步由uim吸收，如此交替下去，并且要求最后一步必须由uim吸收。魔瓶只有k的容量，也就是说，如果装了k+1那么魔瓶会被清空成零，如果装了k+2就只剩下1，依次类推。怪物还说道，最后谁的魔瓶装的魔液多，谁就能活下来。小a和uim感情深厚，情同手足，怎能忍心让小伙伴离自己而去呢？沉默片刻，小a灵机一动，如果他俩的魔瓶中魔液一样多，不就都能活下来了吗？小a和他的小伙伴都笑呆了！
现在他想知道他们都能活下来有多少种方法。
输入输出格式
输入格式：
第一行，三个空格隔开的整数n，m，k
接下来n行，m列，表示矩阵每一个的魔液量。同一行的数字用空格隔开。
输出格式：
一个整数，表示方法数。由于可能很大，输出对1 000 000 007取余后的结果。
输入输出样例
说明
【题目来源】
lzn改编
【样例解释】
样例解释：四种方案是：(1,1)->(1,2),(1,1)->(2,1),(1,2)->(2,2),(2,1)->(2,2)。
【数据范围】
对于20%的数据，n,m<=10,k<=2
对于50%的数据，n,m<=100,k<=5
对于100%的数据，n,m<=800,1<=k<=15
一开始很容易想到的状态：x,y,当前x,y下两个人的分数sum1,sum2，以及谁来拿flag(0,1)但是这样会爆空间，怎么办呢，我们发现，对于sum1和sum2两个状态，可以合并为两个人分数的差值，因为答案只要求求方案数，与每一步两个人的分数到底是多少并无太大关系；而且每个差值都可以通过多个状态转移过来，这样保证答案是正确的；同时，这样做还避免了起点的枚举，保证不会TLE
状态转移方程如下
f[i][j][h][0]=(long long)(f[i][j][h][0]+f[i-1][j][(h-a[i][j]+k)%k][1]+f[i][j-1][(h-a[i][j]+k)%k][1])%mod;
f[i][j][h][1]=(long long)(f[i][j][h][1]+f[i-1][j][(h+a[i][j])%k][0]+f[i][j-1][(h+a[i][j])%k][0])%mod;
f[i][j][h][0]表示在i,j两人分数差值为h时小A取药水，f[i][j][h][1]表示在i,j两人分数差值为h时uim取药水
但问题又来了，差值可以是负的啊，这个怎么处理呢，事实上-k与k是等价的（不会证明），相减时+k在正值中找等价的就好了
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int mod=1000000007; int f[810][810][16][2],a[810][810],n,m,k; long long ans;//答案要开long long int main() { scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
++k;//题目里说是k+1=0,++k方便后面计算 for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]),f[i][j][a[i][j]%k][0]=1;//小A可以从任何一个地方开始走，初始化为1 for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) for(int h=0;h<k;h++)//枚举分数差值 { f[i][j][h][0]=(long long)(f[i][j][h][0]+f[i-1][j][(h-a[i][j]+k)%k][1]+f[i][j-1][(h-a[i][j]+k)%k][1])%mod;//这里记得类型转换，不然有可能炸 f[i][j][h][1]=(long long)(f[i][j][h][1]+f[i-1][j][(h+a[i][j])%k][0]+f[i][j-1][(h+a[i][j])%k][0])%mod; } for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) ans+=f[i][j][0][1],ans%=mod;//统计所有答案，记得取模 cout<<ans;//输出即可 return 0; }
参考大佬@桑梓暖阳 的题解
