P1088 [NOIP2004 普及组] 火星人 多种解法（库函数，手写实现库函数，康拓展开+变进制数）

题目描述

人类终于登上了火星的土地并且见到了神秘的火星人。人类和火星人都无法理解对方的语言，但是我们的科学家发明了一种用数字交流的方法。这种交流方法是这样的，首先，火星人把一个非常大的数字告诉人类科学家，科学家破解这个数字的含义后，再把一个很小的数字加到这个大数上面，把结果告诉火星人，作为人类的回答。

火星人用一种非常简单的方式来表示数字――掰手指。火星人只有一只手，但这只手上有成千上万的手指，这些手指排成一列，分别编号为$1,2,3\dots$。火星人的任意两根手指都能随意交换位置，他们就是通过这方法计数的。

一个火星人用一个人类的手演示了如何用手指计数。如果把五根手指――拇指、食指、中指、无名指和小指分别编号为$1,2,3,4$和$5$，当它们按正常顺序排列时，形成了$5$位数$12345$，当你交换无名指和小指的位置时，会形成$5$位数$12354$，当你把五个手指的顺序完全颠倒时，会形成$54321$，在所有能够形成的$120$个$5$位数中，$12345$最小，它表示$1$；$12354$第二小，它表示$2$；$54321$最大，它表示$120$。下表展示了只有$3$根手指时能够形成的$6$个$3$位数和它们代表的数字：

三进制数

$123$
$132$
$213$
$231$
$312$ $321$

代表的数字

$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$

现在你有幸成为了第一个和火星人交流的地球人。一个火星人会让你看他的手指，科学家会告诉你要加上去的很小的数。你的任务是，把火星人用手指表示的数与科学家告诉你的数相加，并根据相加的结果改变火星人手指的排列顺序。输入数据保证这个结果不会超出火星人手指能表示的范围。

输入格式

共三行。
第一行一个正整数$N$，表示火星人手指的数目（$1\le N\le 10000$）。
第二行是一个正整数$M$，表示要加上去的小整数（$1\le M\le 100$）。
下一行是$1$到$N$这$N$个整数的一个排列，用空格隔开，表示火星人手指的排列顺序。

输出格式

$N$个整数，表示改变后的火星人手指的排列顺序。每两个相邻的数中间用一个空格分开，不能有多余的空格。

输入输出样例

输入 #1

5
3
1 2 3 4 5

输出 #1

1 2 4 5 3

说明/提示

对于30%的数据，$N\le 15$；

对于60%的数据，$N\le 50$；

对于全部的数据，$N\le 10000$；

 

首先我们需要知道一个性质（这个规律很容易看出来）：每一个全排列序列对应一个确定的数

题意可转化为：求一个给定全排列序列在m次变化之后得到的新序列

 

两种思路：

1.从指定序列开始向后进行m次全排列

2.将指定序列转换为一个数，对这个数进行+m的操作，再将变化后的数字还原为序列

 

1.

c++自带一个next_permutation()函数，用法为next_permutation(a+1,a+n+1);(和sort差不多)，运行一次后会得到a[]中全排列序列的下一个序列并保存在a[]中

for(int i=1;i<=m;++i) next_permutation(ord+1,ord+1+n);

以上过程结束后ord[]中的序列就是答案

 

也可以选择手动模拟该过程，先写一个正常的全排列，然后从指定位置出发往后找m次即可

for(int i=1;i<=n;i++)

    {
        if(flag==0)i=a[step];
        if(s[i]==0)
        {
            s[i]=1;
            a[step]=i;
            dfs(step+1);
            s[i]=0;
        }
    }

其中if(flag==0)i=a[step]; 即为最关键的一步，将当前全排列过程转化为指定序列，其本质是将枚举全排列的i直接转化到对应的a[i],即给定序列，当转化完后，必定会有step>n的边界情况 ，此时令flag++即可从当前序列开始正常的全排列

if(flagx==1)//当找到了目标序列后逐层退回
    return;
    if(step>n)
    {
        flag++;
        if(flag==m+1)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            printf("%d ",a[j]);
            printf("\n");
            flagx=1;
        }
        return;
    }

2.
由于每一个全排列序列都对应这一个确定的数，且这个数的大小和序列的字典序大小相同，所以可以考虑先将序列转化为一个数，对这个数进行+m，然后再将其还原为序列

拓展：全排列的字典序大小，以12345和12543为例，我们从第一位挨个比较过去，第一位都是1，第二位都是2，第三位5》3，所以12543的字典序比12345要大

引入一个概念：康拓展开
模拟一下康拓展开的过程，以45231为例
先看第一位4，有三个数{1,2,3}比4要小，以这三个数开头的五位数显而易见的全部小于以4开头的五位数，后面还有四个位置可以放剩下四个数字，所以这些五位数的个数是：3*4！
再看第二位5，有四个数{1,2,3,4}比5要小，但是前面已经放了个4，所以只有剩下三个数，后面还剩下三个位置，所以这些五位数的个数是：3*3！
接下来同理
最后把所有个数相加，再加上自己这一种情况，得到的结果就是当前序列在所有全排列序列中的字典序排名
由此我们也可以得到康拓展开的本质：将一个数组转换成一个数，康拓展开在hash中也有应用
那怎么通过排名和序列长度反推出当前序列是多少呢？
引入一个概念：逆康拓展开
也就是把上面的过程反过来
以54321为例，已知长度是5，排名是120
首先把排名-1，减去自己的情况，得到119
119/（4!）=4....23,说明第一位的数字比4个数字要大，是5
23/(3!)=3....5，说明第二位的数字比3个数字要大，是4
5/(2!)=2....1，说明第三位的数字比2个数字要大，是3
1/（1！）=1....0，说明第四位的数字比一个数要大，是2
最后一个数字就是没有用过的1
由此得到序列54321
但是容易发现，康拓展开是需要算阶乘的，因此对于21！以下的范围是比较好用的，再往上走就需要高精度或其他方法

那么还有什么方法呢？这里引入一个概念：变进制数
以54321为例，第一位有5种选择，第二位就只有四种选择（第一位的数字不能选了），以此类推，不难发现，对于第i位，一共有着n-i+1种选择，那么我们可以认为，对于第i位，他是n-i+1进制的
接下来要做的就是把给定序列转化为一个变进制数，然后对这个数进行+m的操作，再将其还原为序列
以53142为例
第一位的5是{1,2,3,4,5}中的第五个选择，所以是4（对于R进制的一位，这一位的所有数字只能是从0到（R-1），满R就要进位了）
第二位的3是{1,2,3,4}中的第三个选择，所以是2
第三位的1是{1,2,4}中的第一个选择，所以是0
第四位的4是{2，4}中的第二个选择，所以是1
最后一位的2是{2}的第一个选择，所以是0
由此我们得到了一个变进制数42010,用(42010)unknown表示
接下来是+m的操作，我们以+3为例
42010+3=42013
最后一位（1进制）向前进位得到42040
倒数第二位（2进制）向前进位得到42200
第三位（3进制）没有问题，进位结束
此时我们得到了+m之后的结果（42200）unknown
接下来我们把这个数字还原为序列
（42200）unknown
第一位是4，代表着是{1,2,3,4,5}中的第5个选择，所以是5
第二位是2，代表室{1,2,3,4}中的第3个选择，所以是3
第三位是2，代表着{1,2,4}中的第3个选择，所以是4
第四位是0，代表着{1,2}中的第1个选择，所以是1
最后一位自然是没用过的2
这样我们就得到了序列53412
由于每一位的进制和每一位可选择的数字数量是相同的，所以不会出现明明只有3个数字可以选择这一位却出现4这种情况，换个说法，进制数等于选择数