数据结构（一）：二叉树

二叉树

树的定义

树是一种数据结构，它是由 n（n>=1）个有限节点组成的一个具有层次关系的集合。

树的特点：

1. 每个节点有零个或多个字节点。
2. 没有父节点的节点称为根节点。
3. 每一个非根节点有且只有一个父节点。
4. 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。

节点的度：拥有子树的树目。

叶子节点：度为零的节点（没有子树）。

分支节点： 树中节点最大的度。

层次：树中节点的最大的度。

树的高度：树中节点的最大层次。

二叉树

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。

1. 满二叉树

   直观的说，除了叶子节点之外，所有的节点都有两个子节点。

   

2. 完全二叉树

   一颗二叉树中，只有最下面两层节点的度可以小于2，并且最下层的叶子节点几种在靠左的位置上，这样的二叉树称为完全二叉树。

   

3. 平衡二叉树

   平衡二叉树要求它的左右子树的高度不超过 1， 并且左右子树都是一颗平衡二叉树。

   如何判断一颗二叉树是不是平衡二叉树？

   1. 可以使用前序遍历的思想。先求出左右子树的高度，判断它们的高度差是否超过了 1。
   2. 递归判断左子树。
   3. 递归判断右子树。

4. 二叉查找树

   二叉查找树又被称为二叉搜索树。设 x 为二叉查找树的一个节点，x 节点包含关键字 key，x 的左子树的 key 值都比 x 小，x 的右子树的 key 值都比 x 大。

   

5. 红黑树
   红黑树（Red-Black Tree，简称 RB-Tree）是一种平衡的二叉查找树，用途广泛。比如：
   TreeMap，TreeSet，HashMap 在 JDK 1.8 后也使用了红黑树。
   红黑树的实现比较复杂，但它的操作有着良好的最坏运行时间，并且在实践中是高效的，它可以在 O（logn）时间内做查找，插入和删除操作。
   

   红黑树可以总结为四个性质：

   1. 每个节点要么是红色的，要么黑色的。
   2. 根节点是黑色的。
   3. 如果一个节点是红色的，那么它的两个孩子都是黑色的。
   4. 对于任意一个节点，其到叶子节点的每条路径上都包含相同数目的黑色节点。

   与 AVL（平衡二叉查找树）通过约束左右子树高度不同，红黑树是通过它的四条性质来实现“平衡状态”。在插入节点或者删除节点时，可能会造成某个节点违反了上述某条性质，那么红黑树会通过重新着色和旋转两种方式使之重新复合性质。