Introduction to QFT

Introduction to QFT

Chapter 0. 背景介绍和基础知识

QFT 是现如今高能物理领域和凝聚态理论领域中必不可少的工具，作为和量子力学几乎同时诞生的一门学科，发展至今有非常多的优秀教材，主要参考教材: peskin, introduction to QFT.

Section 1. 相对论量子力学中的一些问题

众知周知，Schrodinger最早提出量子力学的在非相对论形式下的波动方程，不久Klein和Gordan就提出了相对论形式的方程，即KG方程。但其实Schrodinger在他们之前已经得到了同样的结果，依据这个方程他计算了氢原子的能谱发现与当时的实验结果有一点点的出入，于是并没有发表，让KG两个人捡了漏。同时在英国剑桥，一位年轻的物理学家Dirac也注意到了KG方程中的问题，不同他所依据的是物理学家独有的直觉。Dirac对Bohn的波函数概念解释深信不疑，但从KG方程出发计算概率可能为负，为了解决这一点，他坐在剑桥大学的炉火边沉思，忽然想到如果将时间项的导数定为一阶，将空间项的导数也定为一阶呢？再将波函数从标量换成向量…插句题外话，在学习物理的过程中，我不止一次的对物理学家在处理某一问题时的所运用的数学方法感觉到困惑。可能就像Dirac方程诞生的过程一样，不必追究数学上的严谨，提出新理论时物理上的美感才是最重要的，至于将理论完善严格，那是数学家要操心的事。

同时，相对论的波动方程包括Dirac方程还有诸多问题，其中一个为负能解。在相对论体系，能量只能为正。Dirac想了很久，提出电子海的概念，认为电子存在反粒子，就是质子等等。虽然这些言论现在看是荒唐可笑的，任何粒子和它的反粒子的质量必定相同，质子的质量是电子的快2000倍，但这并不影响Dirac的伟大和好运，或者好运才是他成功的关键？没过多久，人们真的在实验室里找到了正电子，当然并不是质子，Dirac凭借正电子的预言拿了诺奖，不过后来大家都承认Dirac方程才是最重要的成果。

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Section 2. Lorentz变换

方便起见，我们采用新的单位制，令\(\hbar=1\), \(c=1\). 狭义相对论告诉我们，不同的惯性系没有本质区别，两个事件在不同惯性系中的间隔是相等的，即：

\[(t^1-t^2)^2-(x^1-x^1)^2-(y^1-y^2)^2-(z^1-z^2)^2=Const. \]

这两个参考系之间的坐标变换即为Lorentz变换。上式很像我们熟积的内积不变，在实数域的线性空间上对应的变换即为正交变换，在复数域上则为Unitary（幺正）变换。我们定义Minkowski度规\(g_{\mu\nu}\)如下：

\[g_{\mu\nu}=diag(1,-1,-1,-1). \]

把这个度规明确写出来是有必要的，在美国可能西海岸的大学用的上述定义，可能东海岸的大学用的就是(-1,1,1,1)了。于是，Lorentz变换可以定义为：

\[\Lambda^Tg\Lambda=g \]

Poincare变换则在是在Lorentz变换基础上，加上了平移。每种变换都可以看做是一个群中的元素，这是显然的。现代物理学中群论占据了至关重要的地位，最前沿的拓扑序研究中甚至运用了上周调的知识，真是感谢文小刚和普林斯顿高研院的巨巨们了呢：）。在四维空间中，Lorentz群的生成元有6个，平移生成元有4个，所以Poincare群的生成元共有10个，这都是容易证明的，可参见Weinberg的量子场论第一卷。还有一些符号定义：

\[x^\mu=(t,\vec{x}),\quad x_\mu=(t,-\vec{x})\\ \partial_\mu=\frac{\partial}{\partial x^{\mu}},\quad \partial^\mu=\frac{\partial}{\partial x_\mu} \]

度规张量可以将指标升降，依据Einstein求和约定等等。

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至此，量子场论的准备工作介绍完毕，下一章引入一个非常美妙的定理——Noether守恒定理。