1288：三角形最佳路径问题

 

1288：三角形最佳路径问题

【题目描述】

如下所示的由正整数数字构成的三角形:

7 
3 8 
8 1 0 
2 7 4 4 
4 5 2 6 5

        从三角形的顶部到底部有很多条不同的路径。对于每条路径，把路径上面的数加起来可以得到一个和，和最大的路径称为最佳路径。你的任务就是求出最佳路径上的数字之和。

       注意：路径上的每一步只能从一个数走到下一层上和它最近的下边(正下方)的数或者右边（右下方）的数。

 

【输入】

        第一行为三角形高度100≥h≥1，同时也是最底层边的数字的数目。

        从第二行开始，每行为三角形相应行的数字，中间用空格分隔。

 

【输出】

        最佳路径的长度数值。

 

【输入样例】

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

【输出样例】

30

【解题思路】

 1.三角形的数字存放：二维数组

 2.求最佳路径：

          h:三角形高度

          a[i][j]:第i行第j个数字

          MAX(i,j):从f[i][j]到第h行的最佳路径   f[i][j]的下一步：a[i+1][j]或a[i+1][j+1]

          求：MAX(1,1)

          

【递归】

#include<iostream>

using namespace std;

int h;//三角形高度

int a[105][105];//三角形的数字存放

int MAX(int i,int j){

     if(i==h)return a[i][j];

     int x=MAX(i+1,j);//正下方

     int y=MAX(i+1,j+1);//右下方

     return max(x,y)+a[i][j]; //选择最佳路径

}

int main(){

     cin>>h;

     for(int i=1;i<=h;i++){

          for(int j=1;j<=i;j++){

          cin>>a[i][j];

          }

     }

     cout<<MAX(1,1);

     return 0;

}

问题：重复计算，运行时间长

 

【动态规划】

1.记忆递归型

#include<iostream>

using namespace std;

int h;//三角形高度

int a[105][105];//三角形的数字存放

int f[105][105];//存储MAX(i,j)

int MAX(int i,int j){

     if(f[i][j]!=-1)return f[i][j];//判断是否计算过

     if(i==h)f[i][j]=a[i][j];

     int x=MAX(i+1,j);//正下方 

     int y=MAX(i+1,j+1);//右下方 

     f[i][j]=max(x,y)+a[i][j]; //选择最佳路径

     return f[i][j]; 

}

int main(){

     cin>>h;

     for(int i=1;i<=h;i++){

          for(int j=1;j<=i;j++){

          cin>>a[i][j];

          f[i][j]=-1;//赋初始值

          } 

     }

     cout<<MAX(1,1); 

     return 0;

}

用数组f存储最佳路径，可以防止重复计算

 

2.递推

思路：

     

  求从f[1][1]到f[i][j]的最大路径,从下层往上看，f[i][j]是由f[i-1][j]或f[i-1][j-1]得到的

 

        状态转移方程：

                          

 

#include<iostream>
using namespace std;
int h;

int a[105][105];//存储三角形

int f[105][105];//记录f[i][j]到第h行的最大路径

int ans;

int main(){

     cin>>h;

     for(int i=1;i<=h;i++){

          for(int j=1;j<=i;j++){

               cin>>a[i][j];

          }

      }

     f[1][1]=a[1][1];

     for(int i=2;i<=h;i++){

          for(int j=1;j<=i;j++){

               f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1])+a[i][j];

          }

     }

     for(int i=1;i<=h;i++){

          ans=max(f[h][i],ans);

     }//在最后一行找到最大路径的和

     cout<<ans;

     return 0;

}

    自己喜欢用递推，感觉代码比较简洁，这道题的状态转移方程也比较容易想出来，整个代码是顺着下来的，不容易出错。