背包9讲

背包9讲

http://cuitianyi.com/

https://github.com/tianyicui/pack

 

刘汝佳 9.3.2 01背包的两种递推公式都是基于对第i件物品的策略（放或不放）

第2种递推

用f(i,j)表示“把前i个物品装到容量为j的背包中的最大总重量”，其状态转移方程也不难得出：

　　f(i, j) = max{f(i-1,j), f(i-1, j-V[i]) + W[i]}                       

边界是类似的：i=0时为0，j<0时为负无穷，最终答案为f(n,C)。代码也是类似的：

for(int i = 1; i <= n; i++)

　　for(int j = 0; j <= C; j++){

　　　　f[i][j] = (i==1 ? 0 : f[i-1][j]);

　　　　if(j >= V[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-V[i]]+W[i]);

    }

以上代码中 i==1的时候f[i][j] 初始化为0，相当于事先在双层for循环之前初始化所有f[0][j] = 0，然后再这里直接赋值 f[i][j] = f[i-1][j]

使用滚动数组时，j需要逆序遍历，原因如下，参考 http://blog.csdn.net/insistgogo/article/details/8579597

优化空间复杂度

上述的方法，我们使用二维数组 f[i][v] 保存中间状态，这里我们可以使用一维数组f[v]保存中间状态就能得到结果

 

分析

我们现在使用f[v]保存中间状态，我们想要达到的效果是，第i次循环后，f[v]中存储的是前i个物体放到容量v时的最大价值

在回顾下之前讲过的状态转移方程：

f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i - 1][v - weight[i]] + cost[i])

我们可以看到，要想得到 f[i][v]，我们需要知道 f[i - 1][v] 和 f[i - 1][v - weight[i]]，由于我们使用二维数组保存中间状态，所以可以直接取出这两个状态。

当我们使用一维数组存储状态时，f[v]表示，在执行i次循环后(此时已经处理i个物品)，前i个物体放到容量v时的最大价值，即之前的f[i][v]。与二维相比较，它把第一维隐去了，但是二者表达的含义还是相同的，只不过针对不同的i，f[v]一直在重复使用，所以，也会出现第i次循环可能会覆盖第i - 1次循环的结果。

为了求f[v],我们需要知道，前i - 1个物品放到容量v的背包中带来的收益，即之前的f[i - 1][v]  和 前i - 1件物品放到容量为v - weight[i]的背包中带来的收益，即之前的f[i - 1][v - weight[i]] + cost[i]。

 

难点

由于我们只使用一维数组存储，则在求这两个子问题时就没有直接取出那么方便了，因为，第i次循环可能会覆盖第i - 1次循环的结果。

现在我们来求这两个值

1）前i - 1个物品放到容量v的背包中带来的收益，即之前的f[i - 1][v] ：

由于，在执行在i次循环时，f[v]存储的是前i个物体放到容量v时的最大价值，在求前i个物体放到容量v时的最大价值(即之前的f[i][v])时，我们是正在执行第 i 次循环，f[ v ]的值还是在第 i - 1  次循环时存下的值，在此时取出的 f[ v ]就是前i - 1个物体放到容量v时的最大价值，即f[i - 1][v]。

2）前i - 1件物品放到容量为v - weight[i]的背包中带来的收益，即之前的f[i - 1][v - weight[i]] + cost[i]

由于，在执行第i次循环前，f[0 ~ V]中保存的是第i - 1次循环的结果，即是前i - 1个物体分别放到容量0 ~ V时的最大价值，即f[i - 1][0 ~ V]。

则，在执行第i次循环前，f 数组中v - weight[i]的位置存储就是我们要找的 前i - 1件物品放到容量为v - weight[i]的背包中带来的收益 (即之前的f[i - 1][v - weight[i]])，这里假设物品是从数组下标1开始存储的。

 

伪代码

for i=1..N //枚举物品
    for v=V..0 //枚举容量，从大到小
        f[v]=max{f[v],f[v-weight[i]] + cost[i]};

由上面伪代码可知，在执行第 i 次循环时，需要把背包容量由V..0都要遍历一遍，检测第 i 件物品是否能放。

 

逆序枚举容量的原因

注意一点，我们是由第 i - 1 次循环的两个状态推出 第 i 个状态的，而且 v  > v - weight[i]，则对于第i次循环，背包容量只有当V..0循环时，才会先处理背包容量为v的状况，后处理背包容量为 v-weight[i] 的情况。

具体来说，由于，在执行v时，还没执行到v - weight[i]的，因此，f[v - weight[i]]保存的还是第i - 1次循环的结果。即在执行第i次循环 且 背包容量为v时，此时的f[v]存储的是 f[i - 1][v] ，此时f[v-weight[i]]存储的是f[i - 1][v-weight[i]]。

相反，如果在执行第 i 次循环时，背包容量按照0..V的顺序遍历一遍，来检测第 i 件物品是否能放。此时在执行第i次循环 且 背包容量为v时，此时的f[v]存储的是 f[i - 1][v] ，但是，此时f[v-weight[i]]存储的是f[i][v-weight[i]]。

因为，v  > v - weight[i]，第i次循环中，执行背包容量为v时，容量为v - weight[i]的背包已经计算过，即f[v - weight[i]]中存储的是f[i][v - weight[i]]。即，对于01背包，按照增序枚举背包容量是不对的。

 

另外，可以用图形形象化的说明逆序遍历容量的原因

不管正序还是逆序，v在一次for循环中设置了f[0...V]中的所有元素，可以看做从左到右（正序）或从右到左（逆序）对数组f[0...V]刷了颜色，每次for循环使用不同的颜色

如果是正序，因为v - weight[i] < v，在设置f[v]的时候已经设置过f[v - weight[i]]，f[v - weight[i]]的颜色已经更新了，代表f[i][v - weight[i]]，错误

如果是逆序，在设置f[v]的时候，f[v - weight[i]]的颜色还没更新，代表f[i-1][v - weight[i]]，正确

 

http://poj.org/problem?id=3624 是01背包问题，需要滚动数组，以减少内存消耗

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main()
{
    int N, M; //1 <= N <= 3402, 1 <= M <= 12880
    //int W[12900];
    //int D[12900];
    int W, D;
    int f[12900];
    while (scanf("%d%d", &N, &M) != EOF ){ // 如果这里的 != EOF 去掉，提交的时候出现 Output Limit Exceeded
        /*
        for (int i = 1; i <= N; i++){
            scanf("%d%d", &W[i], &D[i]);
        }
        */

        memset(f, 0, sizeof(f));

        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            scanf("%d%d", &W, &D);
            for (int j = M; j >= 0; j--){
                if (j >= W)
                    f[j] = max(f[j], f[j - W] + D);
            }
        }

        printf("%d\n", f[M]);
    }

    return 0;
}

 

例题9-5 劲歌金曲 UVa 12563

参考 http://blog.csdn.net/u013480600/article/details/40376143

这里对01背包里公式里面的数组f[]的类型，max函数，和状态切换进行抽象，

在传统的01背包中，数组f[]的类型是 int，代表容量这一个单一值，max函数用来比较容量的大小

转移方程是 f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i - 1][v - weight[i]] + cost[i])

如果用滚动数组  f[v] = max(f[v],f[v - weight[i]] + cost[i])

f[v - weight[i]] + cost[i] 代表一个新的状态，max()函数用于在两个状态中选择一个最优的

 

劲歌金曲问题里面，数组f[]的类型包含两个int，分别代表歌曲的长度和歌曲的数量，自定义opt函数来比较两个状态

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 参考 http://blog.csdn.net/u013480600/article/details/40376143

struct songState
{
    int len;
    int num;

    songState() : len(0), num(0){}
    songState(int l, int n) :len(l), num(n) {}
};

songState opt(songState s1, songState s2)
{
    if ((s1.num > s2.num) || ((s1.num == s2.num) && (s1.len > s2.len)))
        return s1;
    else
        return s2;
}

int main()
{
    int T; // T <= 100
    int n, max_t; // 1 <= n <= 50, 1 <= max_t <= 1000000000
    int t[55];
    songState f[180*50 + 5];

    int kase = 1;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        
        scanf("%d%d", &n, &max_t);
        max_t -= 1;

        int sum = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &t[i]);
            sum += t[i];
        }

        if (sum < max_t)
            max_t = sum;

        memset(f, 0, sizeof(f));

        for (int i = 1; i <= n; i++){
            for (int j = max_t; j >= 0; j--){
                if (j >= t[i]){
                    f[j] = opt(f[j], songState(f[j - t[i]].len + t[i], f[j - t[i]].num + 1));
                }
            }
        }

        printf("Case %d: %d %d\n", kase++, f[max_t].num + 1, f[max_t].len + 678);
    }

    return 0;
}