【专题】线性判定排列逆序数的奇偶性

排列逆序数的奇偶性是一个十分常见的属性。不同于直接求逆序数，由于排列的性质，这玩意是可以 $\mathcal{O}(n)$ 直接求解的。为了完成这一点，引入如下基本结论：

1. 排列两元素对换，逆序数奇偶性改变。
2. 排列的逆序数同余 $n-\mathrm{\#}$环。

第一点，在大多数线性代数教材中都有所提及。

第二点中的 “环” 的构造方式：按下标 $i$ 向 $p_i$ 连边，或者说，两排列之间连边，必形成若干环（这是因为每个数都出现一次，对应的入/出度数为 $1$）。

定义排列的复合 $(f\circ g{)}_x$ 将 $x$ 变为 $f_{g_x}$，下证

$$\mathrm{parity}(f\circ g)=\mathrm{parity}(f)+\mathrm{parity}(g)$$

$f$ 经过 $\mathrm{swap}(i,j)$ 后，变为 $f^{\prime }$，其奇偶性变为 $\mathrm{parity}(f)+1$。可表示为 $f\circ g=f^{\prime }$，其中排列 $f,g$ 仅有 $(i,j)$ 两点顺序不同。这过程可以归纳，得到上述结论不难。

为啥是这个数^[1]？考虑 $\mathrm{swap}(i,j)$ 在从 $i$ 到 $p_i$ 的图上是什么含义？注意到如果交换环上两点，将会产生一个自环，环的大小会减一。用上面的话来说，对于环 $c_i\in \{C{\}}_k$，$\mathrm{swap}(i,j)$ 实为 $f\circ c_1\circ c_2\circ \cdots \circ c_k$，而在这个环上的奇偶变化为 $k-1$，将所有环的贡献相加就得到：

$$k_1-1+k_2-1+\cdots +k_t-1=n-\mathrm{\#}\mathrm{环}$$

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这个结论十分有用。

• CF1591D
• CF911D
• CF987E
• ABC296F

有点记不清了但至少 ABC 出过三四次了，每次看蒋老师代码都觉得“哦，这tm我学过啊”真是十分常见的结论。下附代码：

bool parity = n & 1;
for (int i : p) if (~i) {
    for (int j = i; ~j; ) {
        std::tie(j, p[j]) = std::tuple{p[j], -1};
    }
    parity ^= 1;
}

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1. 参考 CodeForces Blog: https://codeforces.com/blog/entry/97849 ↩︎