P3573 [POI2014]RAJ-Rally 拓扑排序

网瘾犯了。

• https://www.luogu.com.cn/problem/P3573

题意：在 DAG 上删除一点，使得剩下点的最长路最短。

解答：用 \(f_v\) 和 \(h_v\) 表示终点为 \(v\)、起点为 \(v\) 的单源最长路。按照拓扑序（对于一个点 \(i\)，设拓扑序在其之前的点点集为 \(S\)，拓扑序在其之后的点点集为 \(T\)。对于任意 \(u \in S\)，以 \(u\) 为结尾的点过点 \(i\)，对于任意 \(v \in T\)，以 \(v\) 开头的点亦然）枚举 \(u\)，每次先删除所有以 \(u\) 为起点的最长路，再更新答案，随后加入所有以 \(u\) 为起点的最长路。

复杂度：\(\mathcal O(n \log n)\)。

展开代码

#include <bits/stdc++.h>

using ll = long long;

int main() {
    std::cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);

    int n, m;
    std::cin >> n >> m;
    
    std::vector g1(n + 1, std::vector(0, 0)), g2 { g1 };
    std::vector deg1(n + 1, 0), deg2{ deg1 };
    
    while (m --) {
        int u, v;
        std::cin >> u >> v;
        g1[u].push_back(v), ++deg1[v];
        g2[v].push_back(u), ++deg2[u];
    }
    
    std::vector f(n + 1, 0), h { f };
    std::vector tsort{ 0 };
    
    auto kahn = [n, &tsort](const auto &g, auto &deg, auto &f) -> void {
        static bool flag = true;
        
        std::queue<int> q;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (!deg[i]) {
                q.push(i);
                if (flag) tsort.push_back(i);
            }
        }
        while (!q.empty()) {
            int u = q.front();
            q.pop();
            for (int v : g[u]) {
                f[v] = std::max(f[v], f[u] + 1);
                if (!--deg[v]) {
                    q.push(v);
                    if (flag) tsort.push_back(v);
                }
            }
        }
        
        flag = false;
    };
    
    kahn(g1, deg1, f);
    kahn(g2, deg2, h);
    
    std::multiset<int> S;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        S.insert(h[i]);
    }
    
    int id = 0, ans = *--S.end();
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int u = tsort[i];
        
        S.erase(S.find(h[u]));
        for (int v : g2[u]) {
            S.erase(S.find(f[v] + h[u] + 1));
        }
        if (int res = *--S.end(); ans > res) {
            ans = res;
            id = u;
        }
        S.insert(f[u]);
        for (int v : g1[u]) {
            S.insert(f[u] + h[v] + 1);
        }
    }
    
    std::cout << id << ' ' << ans << '\n';
    
    return 0;
}