多目标优化基础
1 多目标优化概念
多目标优化的数学模型为:
求
x
=
{
x
1
,
x
2
,
⋅
⋅
⋅
,
x
n
}
∈
D
x=\lbrace x_1,x_2,···,x_n \rbrace \in D
x={x1,x2,⋅⋅⋅,xn}∈D
m
i
n
F
(
x
)
=
{
f
1
(
x
)
,
f
2
(
x
)
,
.
.
.
f
n
(
x
)
}
minF(x)=\lbrace f_1(x),f_2(x),...f_n(x) \rbrace
minF(x)={f1(x),f2(x),...fn(x)}
s
.
t
.
{
h
i
(
x
)
=
0
l
=
1
,
2
,
.
.
.
,
L
g
m
(
x
)
≤
0
m
=
1
,
2
,
.
.
.
,
M
s.t. \begin{cases} h_i(x)=0 & l=1,2,...,L \\ g_m(x)\leq 0 & m=1,2,...,M \end{cases}
s.t.{hi(x)=0gm(x)≤0l=1,2,...,Lm=1,2,...,M
式中,n为自变量x的维数;N为函数F(x)的维数;L为等式约束的数目;M为不等式约束的数目。
- 诸目标可能不一致
- 绝对最优解(对每一个目标函数而言都是最优的)往往不存在
- 往往无法比较两个可行解的优劣
1.1 有效解
设多目标优化问题的可行域为D, x ∗ ∈ D x^*\in D x∗∈D,如果不存在 x ∈ D x\in D x∈D,使得 F ( x ) ≤ F ( x ∗ ) F(x)\leq F(x^*) F(x)≤F(x∗),则 x ∗ x^* x∗称该多目标最优化问题的的有效解,也叫Pareto最优解。称有效解的全体为有效解集。
1.2 目标归一化
目标归一化就是将多目标问题转化成单目标问题,来达到求解原问题的方法。
线性加权组合
F
(
x
)
=
∑
i
=
1
N
ω
i
f
i
(
x
)
F(x)= \sum\limits_{i=1}^{N}\omega_i f_i(x)
F(x)=i=1∑Nωifi(x)
目标规划
F
(
x
)
=
∑
i
=
1
N
[
f
i
(
x
)
−
f
i
∗
f
i
∗
]
2
F(x)= \sum\limits_{i=1}^{N}\lbrack\frac{f_i(x)-f^*_i}{f^*_i}\rbrack^2
F(x)=i=1∑N[fi∗fi(x)−fi∗]2
乘除法
以越小越好的目标函数的乘积除以越大越好的目标函数的乘积
F
(
x
)
=
∏
i
=
1
N
f
i
(
x
)
∏
i
=
N
1
+
1
N
f
i
(
x
)
F(x)=\frac{\prod\limits_{i=1}^{N} f_i(x)}{\prod\limits_{i=N_1+1}^{N} f_i(x)}
F(x)=i=N1+1∏Nfi(x)i=1∏Nfi(x)
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