剑指offer-整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

题目：整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

思路分析

方法一：统计1-n之间1出现的次数，首先我们可以采用暴力解法直接数，从n到1，对于每个数都进行判断，如果含有1，则计数器加一。判断的方法是将每个数当成字符串，对于字符串的每一位是否为1进行判断即可.。

实现代码：

public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        int count=0;
        while(n>0){
            String str=String.valueOf(n);
            char [] chars=str.toCharArray();
            for(int i=0;i<chars.length;i++){
                if(chars[i]=='1')
                    count++;
            }
            n--;
        }
        return count;
    }
}

现在来分析一下上面代码的时间复杂度，总的外循环是从n到1，循环了n次，而内部的循环与n的位数有关。所以总的循环判断次数=（9）*1+（99-10+1）*2+（999-100+1）*3+（9999-1000+1）*4+...

总的时间复杂度是比较接近O(n)线性的，但是要大于O(N)

方法二：仔细观察也是可以找到规律的。

以n=12345为例子，12345=10000+2000+300+40+5，12345可以从每一位上单独进行分析，我们以i表示位数标识，以百位为例

i=100  此时a=12345/100=123 ,  b=12345%100=45  可以拆成前后两部分的，对于两部分可以先分开计算然后最后再相乘或相加（计数原理）

1. 如果百位上的数字大于等于2（此时为3），则前面部分共可以出现123/10+1次，即（00~12）共能出现13次1，而每个1又重复了100次（如00100~00199,01100~01199，12100~12199等， ） 故总的次数=(a/10+1)*100
2. 如果百位上的数字等于1，如n=23145,此时a=231,b=45  此时对于前面部分共可以出现a/10+1（00~23）共24次1，但是此时只有前23个能重复100次，最后一个23100~23145只能有46次，这就与前一种情况不同，所以总的次数=a/10*100+(b+1)
3. 如果百位上的数字等于0，如n=12045 ,此时a=120 ,b=45,此时对于前面的部分共可以出现a/10(00~11)共12次1，这12个1能重复100，后面的已经没有百位上的1出现了，所以总的次数=a/10*100

由于每一位上的情况都可以与百位上的情况相同，所以我们可以对以上规律进行总结归纳

如果百位上的数字大于等于2或是等于0，那么出现1的次数=（a+8）/10*100

(为什么加8，我们从上面可以看出大于等于2会比等于0在前面多出现一次1，为了得到对应的结果我们直接让大于等于2的向前进位后再取整，而等于0的由于其没有什么进位所以不会影响其结果)（如果题目由此变形一下，求2出现的次数，那么同理我们便可以划分为大于等于3的情况，等于2的情况，小于2的情况，此时可能就要加7）

如果百位上的数字等于1，那么总的次数由两部分组成，次数=a/10*100+(b+1)

让i从1开始逐步变为10,100,1000，。。。便可求出各个位上的1的数目，在循环的同时求和就行

代码如下：

public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        long count=0;
        long i=1;
        for(i=1;i<=n;i*=10){
            long a=n/i,b=n%i;
            count=count+(a+8)/10*i+(a%10==1?1:0)*(b+1);
        }
       return (int)count;     
    }
}