在两排序数组中寻找第K小的数
题目：在两个排序数组中寻找第K小的数
举例：
arr1=[1,2,3,4,5],arr2=[3,4,5],k=1
1是所有数中第一小的数，所以返回1
arr1=[1,2,3],arr2=[3,4,5,6],k=4
3是所有数中第4小的数，所以返回3
要求：如果arr1的长度为N，arr2的长度为M,时间复杂度请达到O(log(min{M,N}),额外空间复杂度为O(1)
思路：暴力解法坑定是将两个数组放到一起再进行排序，然后再找出第K个，但这样的时间复杂度肯定超了，一看到logN,就想起肯定与二分查找有关
看到这个题，我们先来看一个稍简单的同类的题，如下：
题目：在两个长度相同的排序数组中找到上中位数 给定两个有序数组arr1和arr2,已知两个数组的长度都为N，求两个数组中的所有数的上中位数 举例： arr1=[1,2,3,4].arr2=[3,4,5,6] 总共有8个数，那么上中位数是第4小的数，所以返回3 arr1=[0,1,2],arr2=[3,4,5] 总共有6个数，那么上中位数是第3小的数，所以返回2 要求：时间复杂度O(logN),额外空间复杂度为O(1)
先来分析一下这个题：根据时间复杂度的要求，我们首先利用二分的方式来寻找上中位数
1.假定两数组分别为arr1[start1,end1] 、arr2[start2,end2]
初始时，start1=0,end1=N-1;start2=0,end2=N-1.
2.如果srart1==end1,那么也有start2==end2;
表明每个数组内此时各只有一个元素，总元素数为2，上中位数为其中较小的那个
所以直接返回 min(arr1[start1],arr2[start2]);
3.如果srart1!=end1,说明此时两个数组的长度均大于1，
则令 mid1=(start1+end1)/2 ;mid2=(start2+end2)/2 .来表示两个数组的中间位置
这个时候需要分情况讨论了;
a.如果arr1[mid1]==arr2[mid2]时, 直接返回arr1[mid1]或arr2[mid2]
举个例子来说明一下：
(1).当两个数组的长度都为奇数时
arr1={a1,a2,a3,a4,a5} 、其中的a1表示第一个数，a5表示第5个数，（不表示值）下同
arr2={b1,b2,b3,b4,b5}
此时a3==b3，由于两个数组本身是有序的，在a3前面压着2个数，在b3前面压着2个数，所以a3,b3前面共压了4个数，现在要求第5小的数(总共有10个数，故上中位数为5)，必然是a3或是b3,而a3==b3,所以直接返回这两个数中任一个即可,即返回arr1[mid1]
(2).当两个数组的长度都为偶数时
arr1={a1,a2,a3,a4}
arr2={b1,b2,b3,b4}
此时a2==b2，由于两个数组本身是有序的，在a2前面压着1个数，在b2前面压着1个数，所以a2,b2前面共压了2个数，现在要求第4小的数(总共有8个数，故上中位数为4)，必然是a2或是b2,而a2==b2,所以直接返回这两个数中任一个即可,即返回arr1[mid1]
b.如果arr1[mid1] > arr2[mid2]时,
举个例子来说明一下：
(1).当两个数组的长度都为奇数时
arr1={a1,a2,a3,a4,a5} 、其中的a1表示第一个数，a5表示第5个数，（不表示值）下同
arr2={b1,b2,b3,b4,b5}
此时a3>b3,由于两个数组本身是有序的，在b3前面必然至少压着2个数，而在a3前面至少压着5个数（a1,a2,b1,b2,b3）,所以a3至少应该是第6个数起（因为已经知道前面有5个数肯定比它要小），后面的a4最好情况下也是第7个数起，再后面的a5也必然是大于5的，（因为此时数组总长度为10，要寻找第5小的数），故此时对于arr1数组，第5小数必然要在{a1,a2}里面找，而对于arr2数组，b2 可能是第5小数吗？不可能，因为在arr2数组中b2 前只压了1个数，在ar1数组中，b2最多只能把2个数（a1,a2）压在底下,所以b2最好情况下也只能是第4小数，而对于b1 ，由于压得数更少所以跟不可能，所以从b3 开始才有可能是第5小数
由于两数组长度要保持一致，现在来看一下两数组中第5小数可能会出现的位置
{a1,a2,a3}
{b3,b4,b5}
现在我们来找一下这两个新数组的共同的上中位数，也就是这6个数中第3小的数记为a,这个a 代表啥？就是a在这两段数组中，会把2个数压在下面，同时也自然会把原来的arr2数组中的b1,b2压在下面，所以a 正好就是第5小的数，也就是我们要求的结果，所以解决问题的方法就是对新的两个数组继续求上中位数，具体做法就是，直接令 end1=mid1,start2=mid2,然后重复求解上中位数就行
(2).当两个数组的长度都为偶数时
arr1={a1,a2,a3,a4}
arr2={b1,b2,b3,b4}
此时a2>b2,由于两个数组本身是有序的,a2前面至少压着3个数，所以a2可能是第4小的数，而对于后面的a3,前面都至少压了4个数了，必然不是，后面的a4更不用看了，对于数组arr2,b2最好前面也是只压了2个数（a1,b1）,所以第4小数不可能是b2,更不可能是b1,
由于两数组长度要保持一致，现在来看一下两数组中第5小数可能会出现的位置
{a1,a2}
{b3,b4}
问题同样转化为了寻找新数组的上中位数，所以令end1=mid1,start2=mid2+1.
c.如果arr1[mid1] < arr2[mid2]时,
分析方法与b是一样的(就像b中两数组互换了下)
所以，数组长为奇数时，令start1=mid1,end2=mid2
数组长度为偶数时，令start1=mid1+1,end2=mid2,重复寻找上中位数就行
所以，我们可以给出整个算法的代码：
1 public int getUpMedian(int[] arr1,int[] arr2){ 2 if(arr1==null||arr2==null||arr1.length!=arr2.length){ 3 throw new RuntimeException("Your arr is invalid"); 4 } 5 int start1=0; 6 int end1=arr1.length-1; 7 int start2=0; 8 int end2=arr2.length-1; 9 int mid1=0,mid2=0; 10 int offset=0;//用于判断过程中数组的长度的奇偶 11 while(start1<end1){ 12 mid1=(start1+end1)/2; 13 mid2=(start2+end2)/2; 14 offset=((end1-start1+1)&1)^1; 15 //元素个数为奇数，offset为0，元素个数为偶数，offset为1 16 if (arr1[mid1] > arr2[mid2]){ 17 end1=mid1; 18 start2=mid2+offset; 19 }else if(arr1[mid1]<arr2[mid2]){ 20 end2=mid2; 21 start1=mid1+offset; 22 }else{ 23 return arr1[mid1]; 24 } 25 } 26 return Math.min(arr1[start1],arr2[start2]); 27 }
现在我们来看一下头先的那个题，即寻找第K小数
思路：我们先记
长度较短的数组为shortArr,长度记为lenS
长度较长的数组记为longArr,长度记为lenL
假设shortArr长度为10，{a1,a2,a3,...a10}表示第一个数、第2个数、...
假设longArr长度为27，{b1,b2,...,b27}表示第一个数，...
1.当k<1或k>lenS+lenL,则k无效
2.如果k<=lenS.
那么在shortArr中选前面k个数,在longArr中也选前面k个数
则两段数组的上中位数就是第k 小数（等价于转化成了两个长度相同的数组的形式）
3.如果k>lenL
如一共有37个数，求第33小的数（33>lenL==27）
在{a1,a2,..a10}中a5及a5以前的数都不可能是第33小的数，因为就算a5比b27都大，此时a5==32,所以不可能，a5前面的也不可能，对于a6，如果a6>b27,则a6必然是第33小的数，直接返回a6,否则a6不是。同理在{b1,b2,...,b27}中{b1,b2,...,b22}也必然不可能是第33小的数，因为b22最大也只能为22+10=32，所以应从b23开始找，只要b23>a10，则b23必然是第33小，否则b23也不是，如果a6和b23有一个满足条件，则可以直接返回，否则说明{a1,a2,..,a6},{b1,b2,..,b23}都不可能是，应在{a7,..,a10},{b24,..,b27}这两个数组里找他们的上中位数
4.lenS<k<=lenL时
如求第17小的数
在{a1,a2,..,a10}中每个数都有可能
在{b1,..b27}中b6以前的数必然是不可能的，因为对于b6,最大也只为6+10=16，b18以后的也不可能是，因为他本身就是长数组中的第18个了
所以长数组变成了{b7,...,b17}这11个数,如果此时b7>a10,则可以直接返回b7,否则b7不是
再求{b8,...,b17}和{a1,...,a10}上中位数，则为答案
实现代码为：
1 public int getUpMedian(int[] arr1,int start1,int end1,int[] arr2,int start2,int end2){ 2 int mid1=0,mid2=0; 3 int offset=0;//用于判断过程中数组的长度的奇偶 4 while(start1<end1){ 5 mid1=(start1+end1)/2; 6 mid2=(start2+end2)/2; 7 offset=((end1-start1+1)&1)^1; 8 //元素个数为奇数，offset为0，元素个数为偶数，offset为1 9 if (arr1[mid1] > arr2[mid2]){ 10 end1=mid1; 11 start2=mid2+offset; 12 }else if(arr1[mid1]<arr2[mid2]){ 13 end2=mid2; 14 start1=mid1+offset; 15 }else{ 16 return arr1[mid1]; 17 } 18 } 19 return Math.min(arr1[start1],arr2[start2]); 20 } 21 public int findKthNum(int[]arr1,int[]arr2,int kth){ 22 if(arr1==null||arr2==null){ 23 throw new RuntimeException("Your arr is invalind"); 24 } 25 if(kth<1||kth>arr1.length+arr2.length){ 26 throw new RuntimeException("k is invalid"); 27 } 28 int[]longs=arr1.length>=arr2.length?arr1:arr2; 29 int[]shorts=arr1.length<arr2.length?arr1:arr2; 30 int l=longs.length; 31 int s=shorts.length; 32 if(kth<=s){ 33 return getUpMedian(shorts,0,kth-1,longs,0,kth-1); 34 } 35 if(kth>l){ 36 if(shorts[kth-l-1]>=longs[l-1]) 37 return shorts[kth-l-1]; 38 if(longs[kth-s-1]>=shorts[s-1]) 39 return longs[kth-s-1]; 40 return getUpMedian(shorts,kth-1,s-1,longs,kth-s,l-1); 41 } 42 if(longs[kth-s-1]>=shorts[s-1]){ 43 return longs[kth-s-1]; 44 } 45 return getUpMedian(shorts,0,s-l,longs,kth-s,kth-1); 46 }
参考：《程序员代码面试指南》左程云
