动态规划_01背包

0-1 背包问题：给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi 。

问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

 

分析一波，面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。

 

解决办法：声明一个 大小为  m[n][c] 的二维数组，m[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品，且背包容量为  j 时所能获得的最大价值 ，那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法，

（1）. j < w[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿

m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

（2）. j>=w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。

如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。

 

由此可以得到状态转移方程：

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  1. if(j>=w[i])  
  2.     m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);  
  3. else  
  4.     m[i][j]=m[i-1][j];  

 

例：0-1背包问题。在使用动态规划算法求解0-1背包问题时，使用二维数组m[i][j]存储背包剩余容量为j，可选物品为i、i+1、……、n时0-1背包问题的最优值。绘制

价值数组v = {8, 10, 6, 3, 7, 2}，

重量数组w = {4, 6, 2, 2, 5, 1}，

背包容量C = 12时对应的m[i][j]数组。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 0 0 0 8 8 8 8 8 8 8 8 8
2 0 0 0 8 8 10 10 10 10 18 18 18
3 0 6 6 8 8 14 14 16 16 18 18 24
4 0 6 6 9 9 14 14 17 17 19 19 24
5 0 6 6 9 9 14 14 17 17 19 21 24
6 2 6 8 9 11 14 16 17 19 19 21 24

(第一行和第一列为序号，其数值为0)
如m[2][6],在面对第二件物品，背包容量为6时我们可以选择不拿，那么获得价值仅为第一件物品的价值8，如果拿，就要把第一件物品拿出来，放第二件物品，价值10，那我们当然是选择拿。m[2][6]=m[1][0]+10=0+10=10;依次类推，得到m[6][12]就是考虑所有物品，背包容量为C时的最大价值。

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  1. #include <iostream>  
  2. #include <cstring>  
  3. using namespace std;  
  4.   
  5.   
  6. const int N=15;  
  7.   
  8.   
  9. int main()  
  10. {  
  11.     int v[N]={0,8,10,6,3,7,2};  
  12.     int w[N]={0,4,6,2,2,5,1};  
  13.   
  14.   
  15.     int m[N][N];  
  16.     int n=6,c=12;  
  17.     memset(m,0,sizeof(m));  
  18.     for(int i=1;i<=n;i++)  
  19.     {  
  20.         for(int j=1;j<=c;j++)  
  21.         {  
  22.             if(j>=w[i])  
  23.                 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);  
  24.   
  25.   
  26.             else  
  27.                 m[i][j]=m[i-1][j];  
  28.         }  
  29.     }  
  30.   
  31.   
  32.     for(int i=1;i<=n;i++)  
  33.     {  
  34.         for(int j=1;j<=c;j++)  
  35.         {  
  36.             cout<<m[i][j]<<' ';  
  37.         }  
  38.         cout<<endl;  
  39.     }  
  40.   
  41.   
  42.     return 0;  
  43. }  

 

到这一步，可以确定的是可能获得的最大价值，但是我们并不清楚具体选择哪几样物品能获得最大价值。

另起一个 x[ ] 数组，x[i]=0表示不拿，x[i]=1表示拿。

m[n][c]为最优值，如果m[n][c]=m[n-1][c] ,说明有没有第n件物品都一样，则x[n]=0 ; 否则 x[n]=1。当x[n]=0时，由x[n-1][c]继续构造最优解；当x[n]=1时，则由x[n-1][c-w[i]]继续构造最优解。以此类推，可构造出所有的最优解。（这段全抄算法书，实在不知道咋解释啊。。）

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  1. void traceback()  
  2. {  
  3.     for(int i=n;i>1;i--)  
  4.     {  
  5.         if(m[i][c]==m[i-1][c])  
  6.             x[i]=0;  
  7.         else  
  8.         {  
  9.             x[i]=1;  
  10.             c-=w[i];  
  11.         }  
  12.     }  
  13.     x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;  
  14. }  


例：

某工厂预计明年有A、B、C、D四个新建项目，每个项目的投资额Wk及其投资后的收益Vk如下表所示，投资总额为30万元，如何选择项目才能使总收益最大？

 

Project

Wk

Vk

A

15

12

B

10

8

C

12

9

D

8

5

结合前面两段代码

[cpp] view plain copy
  1. #include <iostream>  
  2. #include <cstring>  
  3. using namespace std;  
  4.   
  5. const int N=150;  
  6.   
  7. int v[N]={0,12,8,9,5};  
  8. int w[N]={0,15,10,12,8};  
  9. int x[N];  
  10. int m[N][N];  
  11. int c=30;  
  12. int n=4;  
  13. void traceback()  
  14. {  
  15.     for(int i=n;i>1;i--)  
  16.     {  
  17.         if(m[i][c]==m[i-1][c])  
  18.             x[i]=0;  
  19.         else  
  20.         {  
  21.             x[i]=1;  
  22.             c-=w[i];  
  23.         }  
  24.     }  
  25.     x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;  
  26. }  
  27.   
  28. int main()  
  29. {  
  30.   
  31.   
  32.     memset(m,0,sizeof(m));  
  33.     for(int i=1;i<=n;i++)  
  34.     {  
  35.         for(int j=1;j<=c;j++)  
  36.         {  
  37.             if(j>=w[i])  
  38.                 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);  
  39.   
  40.             else  
  41.                 m[i][j]=m[i-1][j];  
  42.         }  
  43.     }/* 
  44.     for(int i=1;i<=6;i++) 
  45.     { 
  46.         for(int j=1;j<=c;j++) 
  47.         { 
  48.             cout<<m[i][j]<<' '; 
  49.         } 
  50.         cout<<endl; 
  51.     } 
  52. */  
  53.     traceback();  
  54.     for(int i=1;i<=n;i++)  
  55.         cout<<x[i];  
  56.     return 0;  
  57. }  

 

输出x[i]数组：0111，输出m[4][30]：22。

得出结论：选择BCD三个项目总收益最大，为22万元。

 

不过这种算法只能得到一种最优解，并不能得出所有的最优解。

posted @ 2018-06-17 17:16  xianbeigg  阅读(208)  评论(0)  编辑  收藏  举报