【LeetCode】365.水壶问题

题目描述

解题思路

思路一：裴蜀定理-数学法

1. 由题意，每次操作只会让桶里的水总量增加x或y，或者减少x或y，即会给水的总量带来x或y的变化量，转为数字描述即为：找到一对整数a，b使得下式成立：

ax+by=z

2. 分析知，要完成操作，需要满足：

z<=x+y(a,b存在)

3. 由裴蜀定理：

z是x,y的最大公约数的倍数=>ax+by=z有解

// C++
class Solution {
public:
    bool canMeasureWater(int x, int y, int z) {
        if(x + y < z)
            return false;
        if(x == 0 || y == 0)
            return (z == 0 || x + y == z);
        return (z % gcd(x, y) == 0);
    }
};
// T(n) = O(log(min(x,y))，即计算最大公约数所使用的辗转相除法
// S(n) = O(1)

思路二：DFS

1. 对题目进行建模，分析可知，在任意一个时刻，问题的状态有两个数字决定：X壶中的水量，以及Y壶中的水量;
2. 可以采取以下操作：
   • 把X壶的水灌进Y壶，直至灌满或者倒空；
   • 把Y壶的水灌进Y壶，直至灌满或者倒空；
   • 把X壶灌满；
   • 把Y壶灌满；
   • 把X壶倒空；
   • 把Y壶倒空；
3. 搜索中的每一步以 remain_x, remain_y 作为状态，即表示 X 壶和 Y 壶中的水量。在每一步搜索时，我们会依次尝试所有的操作，递归地搜索下去。但要保证每个状态至多只被搜索一次。

# Python
class Solution:
    def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool:
        stack = [(0, 0)]
        self.seen = set()
        while stack:
            remain_x, remain_y = stack.pop()
            if remain_x == z or remain_y == z or remain_x + remain_y == z:
                return True
            if (remain_x, remain_y) in self.seen:
                continue
            self.seen.add((remain_x, remain_y))
            # 把 X 壶灌满。
            stack.append((x, remain_y))
            # 把 Y 壶灌满。
            stack.append((remain_x, y))
            # 把 X 壶倒空。
            stack.append((0, remain_y))
            # 把 Y 壶倒空。
            stack.append((remain_x, 0))
            # 把 X 壶的水灌进 Y 壶，直至灌满或倒空。
            stack.append((remain_x - min(remain_x, y - remain_y), remain_y + min(remain_x, y - remain_y)))
            # 把 Y 壶的水灌进 X 壶，直至灌满或倒空。
            stack.append((remain_x + min(remain_y, x - remain_x), remain_y - min(remain_y, x - remain_x)))
        return False
# T(n) = O(xy)，状态数最多有(x+1)(y+1)种，每一种状态进行DFS为O(1)
# S(n) = O(xy)，set存入状态数

总结

• DSA相关：相关数据结构为栈，哈希表，相关的算法为数学。
• 语言相关：由于深度优先搜索导致的递归远远超过了 Python 的默认递归层数，使用栈来模拟递归，避免了真正使用递归而导致的问题。
• 其他：数学结论也很重要啊！