个性化推荐 奇异值分解 开集 酉矩阵 闭集 内积空间

 

求伪逆

奇异值分解可以被用来计算矩阵的伪逆。若矩阵 M 的奇异值分解为
 ，那么 M 的伪逆为
。
其中
 是
 的伪逆，并将其主对角线上每个非零元素都求倒数之后再转置得到的。求伪逆通常可以用来求解线性最小平方、最小二乘法问题。

平行奇异值

把频率选择性衰落信道进行分解。

矩阵近似值

奇异值分解在统计中的主要应用为主成分分析（PCA），一种数据分析方法，用来找出大量数据中所隐含的“模式”，它可以用在模式识别，数据压缩等方面。PCA算法的作用是把数据集映射到低维空间中去。 数据集的特征值（在SVD中用奇异值表征）按照重要性排列，降维的过程就是舍弃不重要的特征向量的过程，而剩下的特征向量组成的空间即为降维后的空间。 

 

奇异值分解（Singular Value Decomposition）是线性代数中一种重要的矩阵分解，奇异值分解则是特征分解在任意矩阵上的推广。在信号处理、统计学等领域有重要应用。 [1]
中文名奇异值分解
外文名Singular Value Decomposition
特    征对矩阵的扰动不敏感
应    用矩阵分解
应用学科线性代数
所属领域信号处理、统计学

 

https://baike.baidu.com/item/幺正矩阵/1651000 

 幺正矩阵表示的就是厄米共轭矩阵等于逆矩阵。对于实矩阵，厄米共轭就是转置，所以实正交表示就是转置矩阵等于逆矩阵。实正交表示是幺正表示的特例。

若一n行n列的复数矩阵U满足 [1]
其中
为n阶单位矩阵，
为U的共轭转置，则U称为酉矩阵（又译作幺正矩阵、么正矩阵。英文：Unitary Matrix, Unitary是归一或单位的意思）。即，矩阵U为酉矩阵，当且仅当其共轭转置
为其逆矩阵：
若酉矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，
酉矩阵U不改变两个复向量的内积：
若U为n阶方阵，则下列条件等价：
（1）U是酉矩阵
（2）
是酉矩阵
（3）U的列向量构成内积空间C上的一组标准正交基
（4）U的行向量构成内积空间C上的一组标准正交基
酉矩阵的特征值都是模为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，因此酉矩阵行列式的值为±1。
酉矩阵是正规矩阵，由谱定理知，酉矩阵U可被分解为
其中V是酉矩阵，
是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。
对任意n，所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个群。

 

 https://baike.baidu.com/item/正定矩阵/11030459

在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

 

定义

分类

  1. 1.
    广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）。
  2. 2.
    狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

对称正定矩阵

设
，若
，对任意的
，都有
，则称A为对称正定矩阵。
Hermite正定矩阵
设
，若
，对任意的
，都有
，则称A为Hermite正定矩阵 [2]。
 

性质

 
播报
正定矩阵有以下性质 [1]：
1.正定矩阵的行列式恒为正；
2.实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；
3.若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；
4.两个正定矩阵的和是正定矩阵；
5.正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
 

等价命题

 
播报
对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：
1.A是正定矩阵；
2.A的一切顺序主子式均为正；
3.A的一切主子式均为正；
4.A的特征值均为正；
5.存在实可逆矩阵C，使A=C′C；
6.存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B；
7.存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R [3]。
 

充要条件

 
播报
1.n 元实二次型
正定
它的正惯性指数为 n；
2.一个实对称矩阵 A 正定
A 与 E 合同，即
可逆矩阵 C，使得
；
3. 实二次型
是正定的
A的顺序主子式全大于零；
4.一个实对称矩阵 A 正定
A 的特征值全大于零；
5. 一个实对称矩阵 A 正定
A 的顺序主子式全大于零；
6.A ，B 是实对称矩阵，则
正定
A，B均正定；
7.A 实对称矩阵， A 正定
正定矩阵 B，使得
，（k 为任意正整数）。
 

判定的方法

 
播报
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：
1.求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
2.计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。 [2]
 

应用

 
播报
对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。 [3]

 

 

https://baike.baidu.com/item/闭集/10505777?fromModule=lemma_inlink

 

在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。 由此可以引申在度量空间中，如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。不要混淆于闭流形。
closed set
所属学科一般拓扑学
定    义 聚点属于该集合
特    征 包含自身边界
性    质 拓扑空间的紧集的闭集为紧集
 
 
拓扑空间的紧集的闭集为紧集。 

度量空间

定义

在度量空间中，如果一个集合的所有极限点（或称聚点）都属于这个集合，或该集合没有极限点，那么这个集合就叫做闭集。
我们把一个集合A的所有极限点所组成的集合称为A的导集，记为A'，因此用数学符号来定义闭集的话，就是：如果A'⊆A，那么A是闭集。规定空集为闭集。而如果一个集合没有极限点，那么A'=∅。因为空集是任何集合的子集，所以A'⊆A仍然成立，即A仍然是闭集。
闭集还有另外一个定义。如果一个集合包含它所有的边界点，那么这个集合叫做闭集。若以∂A来表示A的边界点，那么：如果∂A⊆A，那么A是闭集。
两个定义是等价的，这是因为设∂A⊆A，假设A不是闭集，则说明A的某些极限点不属于A。而极限点要么是A的内点，要么是A的边界点，因为A的内点一定属于A，所以那些不属于A的极限点不可能是内点，因此必然是边界点。但这和∂A⊆A矛盾。
反之，设A'⊆A，因为A的边界要么是A的极限点，要么是A的孤立点，但孤立点一定属于A，所以假设A不是闭集，则说明A的某些边界点不属于A，并且这些边界点一定是A的极限点。但这和A'⊆A矛盾。
第三种对闭集的定义是通过序列。拓扑空间 X 上的子集 A 是闭合的，当且仅当 A 的元素组成的任意序列的任意极限仍然属于 A。 这一表述的价值在于，它可以用在收敛空间的定义中，而收敛空间比拓扑空间更普通。 注意，这一表述仍然依赖背景空间 X，因为序列是否在 X 中收敛依赖于 X 中的点。
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

posted @ 2018-05-19 09:54  papering  阅读(383)  评论(0)  编辑  收藏  举报