递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。当边界条件不满足时，递归前进；当边界条件满足时，递归返回。

 

递归练习

组合总和 - 组合总和 - 力扣（LeetCode） https://leetcode.cn/problems/combination-sum/solution/zu-he-zong-he-by-leetcode-solution/

func combinationSum(candidates []int, target int) (ans [][]int) {
	comb := []int{}
	var dfs func(target, idx int)
	dfs = func(target, idx int) {
		if idx == len(candidates) {
			return
		}
		if target == 0 {
			ans = append(ans, append([]int(nil), comb...))
			return
		}
		// 直接跳过
		dfs(target, idx+1)
		// 选择当前数
		if target-candidates[idx] >= 0 {
			comb = append(comb, candidates[idx])
			dfs(target-candidates[idx], idx)
			comb = comb[:len(comb)-1]
		}
	}
	dfs(target, 0)
	return
}

 

        对于这类寻找所有可行解的题，我们都可以尝试用「搜索回溯」的方法来解决。

        回到本题，我们定义递归函数dfs(target,combine,idx) 表示当前在candidates数组的第idx位，还剩target要组合，已经组合的列表为combine。递归的终止条件为target≤0 或者candidates 数组被全部用完。那么在当前的函数中，每次我们可以选择跳过不用第idx 个数，

        即执行dfs(target,combine,idx+1)。也可以选择使用第idx 个数，即执行dfs(target−candidates[idx],combine,idx)，注意到每个数字可以被无限制重复选取，因此搜索的下标仍为idx。

        更形象化地说，如果我们将整个搜索过程用一个树来表达，即如下图呈现，每次的搜索都会延伸出两个分叉，直到递归的终止条件，这样我们就能不重复且不遗漏地找到所有可行解：

        当然，搜索回溯的过程一定存在一些优秀的剪枝方法来使得程序运行得更快，而这里只给出了最朴素不含剪枝的写法，因此欢迎各位读者在评论区分享自己的见解。

 

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode.cn/problems/combination-sum/solution/zu-he-zong-he-by-leetcode-solution/

给你一个 无重复元素 的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的 所有 不同组合 ，并以列表形式返回。你可以按 任意顺序 返回这些组合。

candidates 中的 同一个 数字可以 无限制重复被选取 。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。 

对于给定的输入，保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。

 

示例 1：

输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7
输出：[[2,2,3],[7]]
解释：
2 和 3 可以形成一组候选，2 + 2 + 3 = 7 。注意 2 可以使用多次。
7 也是一个候选， 7 = 7 。
仅有这两种组合。
示例 2：

输入: candidates = [2,3,5], target = 8
输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]
示例 3：

输入: candidates = [2], target = 1
输出: []
 

提示：

1 <= candidates.length <= 30
1 <= candidates[i] <= 200
candidate 中的每个元素都 互不相同
1 <= target <= 500

 

Given an array of distinct integers candidates and a target integer target, return a list of all unique combinations of candidates where the chosen numbers sum to target. You may return the combinations in any order.

The same number may be chosen from candidates an unlimited number of times. Two combinations are unique if the frequency of at least one of the chosen numbers is different.

It is guaranteed that the number of unique combinations that sum up to target is less than 150 combinations for the given input.

 

Example 1:

Input: candidates = [2,3,6,7], target = 7
Output: [[2,2,3],[7]]
Explanation:
2 and 3 are candidates, and 2 + 2 + 3 = 7. Note that 2 can be used multiple times.
7 is a candidate, and 7 = 7.
These are the only two combinations.
Example 2:

Input: candidates = [2,3,5], target = 8
Output: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]
Example 3:

Input: candidates = [2], target = 1
Output: []
 

Constraints:

1 <= candidates.length <= 30
1 <= candidates[i] <= 200
All elements of candidates are distinct.
1 <= target <= 500

 

 

 

 

 

递归函数  原理

 

《数据结构》

p56

p129

 

 

 

 

小结：

1、

递归关系就是实体自己和自己建立关系。

 

 2、

回推+递推

 

 3、

问题解法按递归算法实现。

这类问题虽则本身没有明显的递归结构，但用递归求解比迭代求解更简单，如Hanoi问题。

 

程序调用自身的编程技巧称为递归（ recursion）。递归做为一种算法在程序设计语言中广泛应用。 一个过程或函数在其定义或说明中有直接或间接调用自身的一种方法，它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解，递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合。一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。当边界条件不满足时，递归前进；当边界条件满足时，递归返回。

 

递归，就是在运行的过程中调用自己。
构成递归需具备的条件：
函数嵌套调用过程示例
函数嵌套调用过程示例
1. 子问题须与原始问题为同样的事，且更为简单；
2. 不能无限制地调用本身，须有个出口，化简为非递归状况处理。
在数学和计算机科学中，递归指由一种（或多种）简单的基本情况定义的一类对象或方法，并规定其他所有情况都能被还原为其基本情况。

 

递归算法一般用于解决三类问题：

(1)数据的定义是按递归定义的。（Fibonacci函数）

(2)问题解法按递归算法实现。

这类问题虽则本身没有明显的递归结构，但用递归求解比迭代求解更简单，如Hanoi问题。

(3)数据的结构形式是按递归定义的。

 

 

递归的缺点：

递归算法解题相对常用的算法如普通循环等，运行效率较低。因此，应该尽量避免使用递归，除非没有更好的算法或者某种特定情况，递归更为适合的时候。在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。

 

 

递归典型问题

梵塔问题（汉诺塔问题）

已知有三根针分别用A, B, C表示，在A中从上到下依次放n个从小到大的盘子，现要求把所有的盘子
从A针全部移到B针，移动规则是：可以使用C临时存放盘子，每次只能移动一块盘子，而且每根针上
不能出现大盘压小盘，找出移动次数最小的方案.

例2 楼梯有n阶台阶，上楼可以一步上1阶，也可以一步上2阶，编一程序计算共有多少种不同的走法.

1.求数组中的最大数
2.1+2+3+...+n
3.求n个整数的积
4.求n个整数的平均值
5.求n个自然数的最大公约数与最小公倍数
6.有一对雌雄兔，每两个月就繁殖雌雄各一对兔子.问n个月后共有多少对兔子
7.已知：数列1,1,2,4,7,13,24,44,...求数列的第 n项.

2.3典型例题
例3 快速排序
快速排序的思想是：先从数据序列中选一个元素,并将序列中所有比该元素小的元素都放到它的右边或左边，再对左右两边分别用同样的方法处之直到每一个待处理的序列的长度为1,处理结束.