同余关系 等价关系 同余关系的原型

 小结：

1、同余关系或简称同余是相容于某个代数运算的等价关系。

 

https://baike.baidu.com/item/同余关系

https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation

https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation

https://baike.baidu.com/item/等价关系

 

 等价关系定义为：设R是非空集合A上的二元关系，若R是自反的、对称的、传递的，则称R是A上的等价关系。研究等价关系的目的在于将集合中的元素进行分类，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。

定义1

设 R 是集合 A 上的一个二元关系，若R满足：

自反性：∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R

对称性：(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R

传递性：(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R

则称R是定义在A上的一个等价关系。设R是一个等价关系，若(a, b) ∈ R，则称a等价于b，记作 a ~ b 。

 

例一：

同班同学关系、同乡关系是等价关系。

平面几何中三角形间的相似关系、全等关系都是等价关系。

平面几何中直线间的平行关系是等价关系。

例二：

设A = {1, 4, 7}，定义A上的关系R如下：

R = { (a, b) | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 }

其中a ≡ b mod 3叫做 a 与 b 模 3 同余，即 a 除以 3 的余数与 b 除以 3 的余数相等。不难验证 R 为 A 上的等价关系。

设 f 是从 A 到 B 的一个函数，定义 A 上的关系 R ：aRb，当且仅当f(a) = f(b)，R 是 A 上的等价关系。

 

 

 同余关系的原型 

 

The prototypical example of a congruence relation is congruence modulo   on the set of integers. For a given positive integer , two integers  and  are called congruent modulo , written

if  is divisible by  (or equivalently if   and  have the same remainder when divided by ).

for example,  and  are congruent modulo ,

 

since  is a multiple of 10, or equivalently since both   and  have a remainder of  when divided by  .

Congruence modulo   (for a fixed  ) is compatible with both addition and multiplication on the integers. That is,

if

  and 

then

  and 

The corresponding addition and multiplication of equivalence classes is known as modular arithmetic. From the point of view of abstract algebra, congruence modulo   is a congruence relation on the ringof integers, and arithmetic modulo   occurs on the corresponding quotient ring.

 

元型例子是模算术：对于一个正整数n，两个整数a和b被称为同余模n，如果a − b整除于n（还有一个等价的条件是它们除以n得出同样的余数）。

例如，5和11同余模3：

11 ≡ 5 (mod 3)

 

 

在数学特别是抽象代数中，同余关系或简称同余是相容于某个代数运算的等价关系。

In abstract algebra, a congruence relation (or simply congruence) is an equivalence relation on an algebraic structure (such as a group, ring, or vector space) that is compatible with the structure in the sense that algebraic operations done with equivalent elements will yield equivalent elements.^[1] Every congruence relation has a corresponding quotient structure, whose elements are the equivalence classes (or congruence classes) for the relation.^[2]