杭电OJ 2084 数塔

数塔
题目明确告诉你，这是一道DP动态规划问题，那么首先先回顾什么是动态规划，就是把原问题分解为多个子问题，再记忆子问题的结果，来降低时间复杂度。

观察这个数塔，首先设置一个数组dp[][]，令$dp[j][i]$表示以第j层的第i个结点为终点的最大和，有以下3种情况：

• 1.边界情况，结点$i==0$或者结点$i==j$，此时只有不断向上一条路；

• 2.当结点i属于当前层次的中间的结点位置，那么$dp[j][i]=arr[j][i]+max(dp[j-1][i-1],dp[j-1][i])$；

得到状态转移方程之后，我们只需遍历求出以最后一层的每个结点为终点的最大值，然后输出其中的最大值即可。

AC代码如下：

//2024-03-28
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
 
using namespace std;
 
const int MAXN = 100 + 2;
int arr[MAXN][MAXN];
 
int dp[MAXN][MAXN];
//第j层的第i个结点为终点的最大和 递归+记忆化
int Function(int i, int j) {
    if(dp[j][i] != -1) {
        return dp[j][i];
    }
    int answer;
    if(i == 0 && j == 0) {//递归出口
        answer = arr[j][i];
    } else{
        answer = arr[j][i] + max(Function(i-1, j-1), Function(i, j-1));
    }
    dp[j][i] = answer;
    return answer;
}
int main() {
    int c, n;
    cin >> c;
    while(c--) {
        cin >> n;
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            for(int j = 0; j <= i; ++j) {
                cin >> arr[i][j];
            }
        }
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(int j = 1; j < n; ++j) { //j层i个结点
            for(int i = 1; i < j; ++i) {
                dp[j][i] = -1; 
            }
        }
        for(int j = 0; j < n; ++j) { //边界情况
            for(int k = 0; k <= j; ++k) {
                dp[j][0] += arr[k][0];
                if(j != 0) dp[j][j] += arr[k][k];
            }
        }
        int maximum = -INT_MAX;
        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            maximum = max(maximum, Function(i, n-1));
        }
        cout << maximum << endl;
    }
    return 0;
}