算法时间复杂度和空间复杂度的计算

 时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。（算法的复杂性体现在运行该算法时的计算机所需资源的多少上，计算机资源最重要的是时间和空间（即寄存器）资源，因此复杂度分为时间和空间复杂度）。

 

时间复杂度：

（1）时间频度 

       一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

       n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。

（2）时间复杂度

      一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。 

      按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...， k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。

     算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1)

（3）时间复杂度的取值

 　　主要用算法时间复杂度的数量级评价一个算法的时间性能。

 

时间复杂度的计算：

1. 计算出基本操作的执行次数T(n) 
    基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。

2. 计算出T(n)的数量级 
    求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作：
    忽略常量、低次幂和最高次幂的系数
    令f(n)=T(n)的数量级。

3. 用大O来表示时间复杂度 
    当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。

 

一个示例： 
int num1, num2;
for(int i=0; i<n; i++){ 
     num1 += 1;
     for(int j=1; j<=n; j++){ 
         num2 += num1;
     }
} 

分析：
1.
语句int num1, num2;的频度为1；
语句i=0;的频度为1；
语句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的频度为n；
语句j<=n; j++; num2+=num1;的频度为n*n；
T(n) = 2 + 4n + 3n*n

2.
忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数
f(n) = n*n = n2

3.
T(n) = O(n2)

 

 

空间复杂度：

空间复杂度与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。记作: S(n)=O(f(n)) 我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。 

空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。一个算法在计算机存储器上所占用的存储空间，包括存储算法本身所占用的存储空间，算法的输入输出数据所占用的存储空间和算法在运行过程中临时占用的存储空间这三个方面。

当一个算法的空间复杂度为一个常量，即不随被处理数据量n的大小而改变时，可表示为O(1)。