[HNOI2015]亚瑟王
题目描述
小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了，洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。他决定，在脱坑之前，最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战，就一定要打得漂亮。众所周知，亚瑟王是一个看脸的游戏，技能的发动都是看概率的。
作为一个非洲人，同时作为一个前 OIer，小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码，连 Spaly都敲不对了，因此，希望你能帮帮小 K，让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。
本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 玩家有一套卡牌，共 n张。游戏时，玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序，排列后将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~ n。本题中，顺序已经确定，即为输入的顺序。每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi，如果成功发动，则会对敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能，卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小K非洲血统的考虑，pi不会为 0，也不会为 1，即 0 < pi < 1。 一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中，系统将从第一张卡牌开始，按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中，对于依次考虑的每一张卡牌：
1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能，则
1.1 如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之（考虑下一张卡牌）； 否则（是最后一张），结束这一轮游戏。
2否则（这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能），设这张卡牌为第 i 张
2.1将其以 pi的概率发动技能。
2.2如果技能发动，则对敌方造成 di点伤害，并结束这一轮。
2.3如果这张卡牌已经是最后一张（即 i 等于n），则结束这一轮；否则，考虑下一张卡牌。
请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。
输入输出格式
输入格式：
输入文件的第一行包含一个整数 T，代表测试数据组数。 接下来一共 T 组数据。 每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 n和r，分别代表卡牌的张数和游戏的轮数。 接下来 n行，每行包含一个实数和一个整数，由空格隔开，描述一张卡牌。第i 行的两个数为 pi和 di，分别代表第 i 张卡牌技能发动的概率（实数）和技能发动造成的伤害（整数）。保证 pi最多包含 4位小数，且为一个合法的概率。
输出格式：
对于每组数据，输出一行，包含一个实数，为这套卡牌在这一局游戏中造成的伤害的期望值。对于每一行输出，只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过10^-8时——即|a-o|/a<=10-8时(其中a是标准答案，o是输出)，你的输出才会被判为正确。建议输出10 位小数。
输入输出样例
1 3 2 0.5000 2 0.3000 3 0.9000 1
3.2660250000
说明
一共有 13 种可能的情况：
- 第一轮中，第 1张卡牌发动技能；第二轮中，第 2张卡牌发动技能；
概率为 0.15，伤害为5。
- 第一轮中，第 1张卡牌发动技能；第二轮中，第 3张卡牌发动技能；
概率为 0.315，伤害为3。
- 第一轮中，第 1张卡牌发动技能；第二轮不发动技能；
概率为 0.035，伤害为2。
- 第一轮中，第 2张卡牌发动技能；第二轮中，第 1张卡牌发动技能；
概率为 0.075，伤害为5。
- 第一轮中，第 2张卡牌发动技能；第二轮中，第 3张卡牌发动技能；
概率为 0.0675，伤害为4。
- 第一轮中，第 2张卡牌发动技能；第二轮不发动技能；
概率为 0.0075，伤害为3。
- 第一轮中，第 3张卡牌发动技能；第二轮中，第 1张卡牌发动技能；
概率为 0.1575，伤害为3。
- 第一轮中，第 3张卡牌发动技能；第二轮中，第 2张卡牌发动技能；
概率为 0.04725，伤害为4。
- 第一轮中，第 3张卡牌发动技能；第二轮不发动技能；
概率为 0.11025，伤害为1。
- 第一轮不发动技能；第二轮中，第 1张卡牌发动技能；
概率为 0.0175，伤害为2。
- 第一轮不发动技能；第二轮中，第 2张卡牌发动技能；
概率为 0.00525，伤害为3。
- 第一轮不发动技能；第二轮中，第 3张卡牌发动技能；
概率为 0.011025，伤害为1。
- 第一轮不发动技能；第二轮亦不发动技能；
概率为 0.001225，伤害为0。
造成伤害的期望值为概率与对应伤害乘积之和，为 3.266025。
对于所有测试数据， 1 <= T <= 444， 1 <= n <= 220， 0 <= r <= 132， 0 < pi < 1， 0 <= di <= 1000。
除非备注中有特殊说明，数据中 pi与di均为随机生成。
请注意可能存在的实数精度问题，并采取适当措施。
【spj】
先简化题意:有r轮,每轮从第一张起依次出牌,每张牌打出来有一定的概率,每张牌有一定的伤害,问r轮结束后的伤害的期望是多少.
主要是要从前面依次考虑每一张没打出来的牌,感觉很难做.
考虑每一张牌要么在r轮中的某一轮打出伤害,要么不打出.
那么就可以按照每张牌来算概率.
设f[i][j]表示已经考虑了i张牌,还有j轮未打出牌的概率.
g[i][j]表示(1-p[i])^j.
f[i+1][j]=f[i][j]*g[i+1][j].表示第i+1张不打出伤害.
f[i+1][j-1]=f[i][j]*(1-g[i+1][j]).表示第i+1张在某一轮中打出伤害,这时再算一下期望.
这样算把每种情况都考虑进来了.
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 double f[300][300],p[300],a[300],g[300][300]; 4 int main(){ 5 int T,n,r; 6 scanf("%d",&T); 7 while(T){ 8 T--; 9 memset(f,0,sizeof(f));double ans=0.0; 10 scanf("%d%d",&n,&r); 11 for(int i=1;i<=n;i++) 12 scanf("%lf%lf",&p[i],&a[i]); 13 for(int i=1;i<=n;i++) 14 for(int j=0;j<=r;j++) 15 if(j==0)g[i][j]=1; 16 else g[i][j]=g[i][j-1]*(1-p[i]); 17 f[0][r]=1; 18 for(int i=0;i<n;i++) 19 for(int j=0;j<=r;j++){ 20 f[i+1][j]+=f[i][j]*g[i+1][j]; 21 if(j>0) f[i+1][j-1]+=f[i][j]*(1-g[i+1][j]),ans+=a[i+1]*(f[i][j]*(1-g[i+1][j])); 22 } 23 printf("%.10lf\n",ans); 24 } 25 return 0; 26 }
