数论五·欧拉函数

#1298 : 数论五·欧拉函数

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描述

小Hi和小Ho有时候会用密码写信来互相联系，他们用了一个很大的数当做密钥。小Hi和小Ho约定了一个区间[L,R]，每次小Hi和小Ho会选择其中的一个数作为密钥。

小Hi：小Ho，这次我们选[L,R]中的一个数K。

小Ho：恩，小Hi，这个K是多少啊？

 

小Hi：这个K嘛，不如这一次小Ho你自己想办法算一算怎么样？我这次选择的K满足这样一个条件：

假设φ(n)表示1..n-1中与n互质的数的个数。对于[L,R]中的任意一个除K以外的整数y，满足φ(K)≤φ(y)且φ(K)=φ(y)时，K<y。

也即是K是[L,R]中φ(n)最小并且值也最小的数。

小Ho：噫，要我自己算么？

小Hi：没错！

小Ho：好吧，让我想一想啊。

<几分钟之后...>

小Ho：啊，不行了。。感觉好难算啊。

小Hi：没有那么难吧，小Ho你是怎么算的？

小Ho：我从枚举每一个L,R的数i，然后利用辗转相除法去计算[1,i]中和i互质的数的个数。但每计算一个数都要花好长的时间。

小Hi：你这样做的话，时间复杂度就很高了。不妨告诉你一个巧妙的算法吧：

输入

第1行：2个正整数, L,R，2≤L≤R≤5,000,000。

输出

第1行：1个整数，表示满足要求的数字K

样例输入

4 6

样例输出

4

欧拉函数：小于n的正整数中与n互质的数的个数。

性质：

(1) 若n为素数，则φ(n) = n - 1

显然，由于n为素数，1~n-1与n都只有公因子1，因此φ(n) = n - 1。

(2) 若n = p^k，p为素数（即n为单个素数的整数幂），则φ(n) = (p-1)*p^(k-1)

因为n是p的整数幂，因此所有p的倍数和n都不互质。小于n的p的倍数一共有p^(k-1)-1个，因此和n互质的个数为：

p^k-1- (p^(k-1)-1) = p^k - p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)

(3)
若p和q互质，则φ(p*q)
= φ(p) * φ(q)

由以上性质，可以推出以下定理：

(1) 若p为n的约数，则φ(n*p) = φ(n) * p

若p为n的约数，且p为质数。则我们可以将n表示为p^k*m。m表示其他和p不同的质数的乘积。

显然有p^k与m互质，则：

φ(n)
= φ(p^k)*φ(m) = (p-1)*p^(k-1)*φ(m)

φ(n*p)
= φ(p^(k+1))*φ(m) = (p-1)*p^k*φ(m) = (p-1)*p^(k-1)*φ(m) * p = 
φ(n) * p

(2) 若p为不为n的约数，则φ(n*p) = φ(n) * (p-1)

由p不为n的约数，因此p与n互质，所以φ(n*p) = φ(n) * φ(p) = φ(n)*(p-1)

有了这些定理，就可以用Eular筛法求出欧拉函数了。

因为每个素数都可以直接计算，每个合数都会被筛掉，所以每个数都会计算到。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define maxn 5000010
using namespace std;
bool su[maxn];
int f[maxn];
int Eular[maxn];
int main()
{
  freopen("!.in","r",stdin);
  freopen("!.out","w",stdout);
  int l,r,sum=0;
  scanf("%d%d",&l,&r);
  for(int i=1;i<=r;i++) su[i]=1;
  for(int i=2;i<=r;i++){
    if(su[i])f[++sum]=i,Eular[i]=i-1;
    for(int j=1;j<=sum;j++){
      if(f[j]*i>r) break;
      su[f[j]*i]=0;
      if(i%f[j]==0){
    Eular[i*f[j]]=Eular[i]*f[j];
    break;
      }
      else Eular[i*f[j]]=Eular[i]*(f[j]-1);
    }
  }
  int zd=1999999999,id;
  for(int i=l;i<=r;i++)
    if(Eular[i]<zd) zd=Eular[i],id=i;
  printf("%d",id);
  return 0;
}