数论四·扩展欧几里德

#1297 : 数论四·扩展欧几里德

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描述

小Hi和小Ho周末在公园溜达。公园有一堆围成环形的石板，小Hi和小Ho分别站在不同的石板上。已知石板总共有m块，编号为 0..m-1，小Hi一开始站在s1号石板上，小Ho一开始站在s2号石板上。

小Hi：小Ho，你说我们俩如果从现在开始按照固定的间隔数同时同向移动，我们会不会在某个时间点站在同一块石板上呢？

小Ho：我觉得可能吧，你每次移动v1块，我移动v2块，我们看能不能遇上好了。

小Hi：好啊，那我们试试呗。

一个小时过去了，然而小Hi和小Ho还是没有一次站在同一块石板上。

小Ho：不行了，这样走下去不知道什么时候才汇合。小Hi，你有什么办法算算具体要多久才能汇合么？

小Hi：让我想想啊。。

输入

第1行：每行5个整数s1,s2,v1,v2,m，0≤v1,v2≤m≤1,000,000,000。0≤s1,s2<m

中间过程可能很大，最好使用64位整型

输出

第1行：每行1个整数，表示解，若该组数据无解则输出-1

样例输入

0 1 1 2 6

样例输出

5

列出方程：s1+v1*t=s2+v2*t-k*m
(v1<v2)

s2+v2*t=s1+v1*t-k*m
(v1>v2)

化简后：(v1-v2)*t+k*m=s2-s1
(v1<v2)

可以看出这是一个一次不定方程。

有解的条件：gcd(a,b)|c。

然后用扩展欧几里得算法求解。

注意c++负数取模可能是一个负数，但不能是个负数，所以要模加模。

void
exgcd(LL &x,LL &y,LL a,LL b){

  if(!b)
x=1,y=0;

  else
exgcd(y,x,b,(a+b)%b),y-=x*(a/b);

}

还有最后的答案如果是个负数的话要一直加ｂ加到正数为止，因为这里的ｘ必须要大于０。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
void exgcd(LL &x,LL &y,LL a,LL b){
  if(!b) x=1,y=0;
  else exgcd(y,x,b,(a+b)%b),y-=x*(a/b);
}
LL gcd(LL x,LL y){return y==0?x:gcd(y,(x+y)%y);}
int main()
{
  freopen("!.in","r",stdin);
  freopen("!.out","w",stdout);
  LL s1,s2,v1,v2,a,c,b,x,y;
  scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&s1,&s2,&v1,&v2,&b);
  if(v1<v2) a=v1-v2,c=s2-s1;
  else a=v2-v1,c=s1-s2;
  int d=gcd(a,b);
  if(c%d==0){
    a/=d,b/=d,c/=d;
    exgcd(x,y,a,b);
    x=x*c;
    while(x<0) x+=b;
    printf("%lld",x%b);
    return 0;
  }
  printf("-1");
  return 0;
}