数论三·约瑟夫问题

#1296 : 数论三·约瑟夫问题

时间限制:10000ms
单点时限:1000ms
内存限制:256MB

描述

小Hi和小Ho的班级正在进行班长的选举,他们决定通过一种特殊的方式来选择班长。

首先N个候选人围成一个圈,依次编号为0..N-1。然后随机抽选一个数K,并0号候选人开始按从1到K的顺序依次报数,N-1号候选人报数之后,又再次从0开始。当有人报到K时,这个人被淘汰,从圈里出去。下一个人从1开始重新报数。

也就是说每报K个数字,都会淘汰一人。这样经过N-1轮报数之后,圈内就只剩下1个人了,这个人就作为新的班长。

举个例子,假如有5个候选人,K=3:

初始
0: 0 1 2 3 4
从0号开始报数,第1次是2号报到3
1: 0 1 - 3 4    	// 0 1 2, 2号候选人淘汰
从3号开始报数,第2次是0号报到3
2: - 1 3 4		// 3 4 0, 0号候选人淘汰
从1号开始报数,第3次是4号报到3
3: 1 3 -		// 1 3 4, 4号候选人淘汰
从1号开始报数,第4次是1号报到3
4: - 3			// 1 3 1, 1号候选人淘汰
  

对于N=5,K=3的情况,最后当选班长的人是编号为3的候选人。

小Ho:小Hi,我觉得当人数和K都确定的时候已经可以确定结果了。

小Hi:嗯,没错。

小Ho:我也想当班长,小Hi你能提前告诉我应该站在哪个位置么?

小Hi:我可以告诉你怎么去求最后一个被淘汰的位置,不过具体的值你得自己去求解。

小Ho:嗯,没问题,那么你快告诉我方法吧!

输入

第1行:1个正整数t,表示多组输入数据,1≤t≤100

第2..t+1行:每行2个正整数n,k,第i+1行表示第i组测试数据,2≤n≤1,000,000,000。2≤k≤1,000

输出

第1..t行:每行1个整数,第i行表示第i组数据的解

样例输入
2
5 3
8 3
样例输出
3
6

首先第一种递推:f[i]表示有i个人时,最终的结果是哪一个。
递推式:f[1]=0,f[n]=(f[n-1]+k)mod
n
用数学归纳法证明。
这样的复杂度为O(n),在n比较大的情况下会TLE。
第二种递推:
  ret=juse(n-n/k,k);
  if(ret<n%k)
return (ret+n/k*k)%n;
  else
return (ret+n/k*k+(ret-(n%k))/(k-1))%n;
感性地理解一下,若这个ret小于n%k,则代表在求出f[n]时,中间的有缺掉的不影响答案,否则需要加上中间这些缺掉的。
 1 #include<set>
 2 #include<map>
 3 #include<queue>
 4 #include<stack>
 5 #include<ctime>
 6 #include<cmath>
 7 #include<string>
 8 #include<vector>
 9 #include<cstdio>
10 #include<cstdlib>
11 #include<cstring>
12 #include<iostream>
13 #include<algorithm>
14 using namespace std;
15 int juse(int n,int k){
16   if(n==1) return 0;
17   int ret=0;
18   if(n<k){
19     for(int i=2;i<=n;i++)
20       ret=(ret+k)%i;
21     return ret;
22   }
23   ret=juse(n-n/k,k);
24   if(ret<n%k) return (ret+n/k*k)%n;
25   else return (ret+n/k*k+(ret-(n%k))/(k-1))%n;
26 }
27 int main()
28 {
29   freopen("!.in","r",stdin);
30   freopen("!.out","w",stdout);
31   int T,n,k;
32   scanf("%d",&T);
33   while(T){
34     T--;
35     scanf("%d%d",&n,&k);
36     printf("%d\n",juse(n,k));
37   }
38   return 0;
39 }

 


posted @ 2017-03-28 13:01  嘘丶  阅读(265)  评论(0编辑  收藏  举报