数论三·约瑟夫问题

#1296 : 数论三·约瑟夫问题

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描述

小Hi和小Ho的班级正在进行班长的选举，他们决定通过一种特殊的方式来选择班长。

首先N个候选人围成一个圈，依次编号为0..N-1。然后随机抽选一个数K，并0号候选人开始按从1到K的顺序依次报数，N-1号候选人报数之后，又再次从0开始。当有人报到K时，这个人被淘汰，从圈里出去。下一个人从1开始重新报数。

也就是说每报K个数字，都会淘汰一人。这样经过N-1轮报数之后，圈内就只剩下1个人了，这个人就作为新的班长。

举个例子，假如有5个候选人，K=3：

初始
0: 0 1 2 3 4
从0号开始报数，第1次是2号报到3
1: 0 1 - 3 4    	// 0 1 2, 2号候选人淘汰
从3号开始报数，第2次是0号报到3
2: - 1 3 4		// 3 4 0, 0号候选人淘汰
从1号开始报数，第3次是4号报到3
3: 1 3 -		// 1 3 4, 4号候选人淘汰
从1号开始报数，第4次是1号报到3
4: - 3			// 1 3 1, 1号候选人淘汰
  

对于N=5,K=3的情况，最后当选班长的人是编号为3的候选人。

小Ho：小Hi，我觉得当人数和K都确定的时候已经可以确定结果了。

小Hi：嗯，没错。

小Ho：我也想当班长，小Hi你能提前告诉我应该站在哪个位置么？

小Hi：我可以告诉你怎么去求最后一个被淘汰的位置，不过具体的值你得自己去求解。

小Ho：嗯，没问题，那么你快告诉我方法吧！

输入

第1行：1个正整数t，表示多组输入数据，1≤t≤100

第2..t+1行：每行2个正整数n,k，第i+1行表示第i组测试数据，2≤n≤1,000,000,000。2≤k≤1,000

输出

第1..t行：每行1个整数，第i行表示第i组数据的解

样例输入

2
5 3
8 3

样例输出

3
6

首先第一种递推：f[i]表示有i个人时，最终的结果是哪一个。

递推式：f[1]=0,f[n]=(f[n-1]+k)mod
n

用数学归纳法证明。

这样的复杂度为O(n),在ｎ比较大的情况下会ＴＬＥ。

第二种递推：

  ret=juse(n-n/k,k);

  if(ret<n%k)
return (ret+n/k*k)%n;

  else
return (ret+n/k*k+(ret-(n%k))/(k-1))%n;

感性地理解一下，若这个ret小于n%k,则代表在求出f[n]时，中间的有缺掉的不影响答案，否则需要加上中间这些缺掉的。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int juse(int n,int k){
  if(n==1) return 0;
  int ret=0;
  if(n<k){
    for(int i=2;i<=n;i++)
      ret=(ret+k)%i;
    return ret;
  }
  ret=juse(n-n/k,k);
  if(ret<n%k) return (ret+n/k*k)%n;
  else return (ret+n/k*k+(ret-(n%k))/(k-1))%n;
}
int main()
{
  freopen("!.in","r",stdin);
  freopen("!.out","w",stdout);
  int T,n,k;
  scanf("%d",&T);
  while(T){
    T--;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    printf("%d\n",juse(n,k));
  }
  return 0;
}