数论一·Miller-Rabin质数测试
#1287 : 数论一·Miller-Rabin质数测试
描述
小Hi和小Ho最近突然对密码学产生了兴趣，其中有个叫RSA的公钥密码算法。RSA算法的计算过程中，需要找一些很大的质数。
小Ho：要如何来找出足够大的质数呢？
小Hi：我倒是有一个想法，我们可以先随机一个特别大的初始奇数，然后检查它是不是质数，如果不是就找比它大2的数，一直重复，直到找到一个质数为止。
小Ho：这样好像可行，那我就这么办吧。
过了一会儿，小Ho拿来了一张写满数字的纸条。
小Ho：我用程序随机生成了一些初始数字，但是要求解它们是不是质数太花时间了。
小Hi：你是怎么做的啊？
说着小Hi接过了小Ho的纸条。
小Ho：比如说我要检测数字n是不是质数吧，我就从2开始枚举，一直到sqrt(n)，看能否被n整除。
小Hi：那就对了。你看纸条上很多数字都是在15、16位左右，就算开方之后，也有7、8位的数字。对于这样大一个数字的循环，显然会很花费时间。
小Ho：那有什么更快速的方法么？
小Hi：当然有了，有一种叫做Miller-Rabin质数测试的算法，可以很快的判定一个大数是否是质数。
输入
第1行：1个正整数t，表示数字的个数，10≤t≤50
第2..t+1行：每行1个正整数，第i+1行表示正整数a[i]，2≤a[i]≤10^18
输出
第1..t行：每行1个字符串，若a[i]为质数，第i行输出"Yes"，否则输出"No"
- 样例输入
-
3 3 7 9
- 样例输出
-
Yes Yes No
-
费马小定理：对于质数p和任意整数a，有a^p ≡ a(mod p)(同余)。反之，若满足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率为质数。
将两边同时约去一个a，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p）
证明：引理1．
若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(modm)时,有a≡b(modm)
证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质,c可以约去,a– b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)引理2．
设m是一个整数,且m>1,b是一个整数且(m,b)=1.如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系,则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系.
证明：若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m),根据引理1则有a≡a[j](mod m).根据完全剩余系的定义可知这是不可能的,因此不存在2个整数ba和ba[j]同余.所以ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系.构造素数ｐ的完全剩余系
因为
，由引理2可得 
也是p的一个完全剩余系。由完全剩余系的性质，
即
易知
，同余式两边可约去
，得到
二次探测定理：
如果p是奇素数，则x^2≡ 1(mod p)的解为x≡ 1 或x≡ p - 1(mod p)
-
所以就可以找几个ａ为底，先算一遍费马小定理，然后若p-1为偶数，则用二次探测定理，u=(p-1)/2，检验 x^u mod p是否为１或 p-1，还要判断ｘ^2modp 要为１，要保证原同余方程是合法的。
还有快速幂的时候可能会乘法溢出，需要搞一个快速加。
1 LL qmul(LL x, LL y, LL mod) 2 { 3 LL ret=0; 4 while(y){ 5 if(y&1) 6 ret=(ret+x)%mod; 7 x=x*2%mod; 8 y>>=1; 9 } 10 return ret%mod; 11 }
可以看成ｙ个ｘ相加，这样可以不打高精。
1 #include<set> 2 #include<map> 3 #include<queue> 4 #include<stack> 5 #include<ctime> 6 #include<cmath> 7 #include<string> 8 #include<vector> 9 #include<cstdio> 10 #include<cstdlib> 11 #include<cstring> 12 #include<iostream> 13 #include<algorithm> 14 #define LL long long 15 using namespace std; 16 int f[13]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37}; 17 LL qmul(LL x, LL y, LL mod) 18 { 19 LL ret=0; 20 while(y){ 21 if(y&1) 22 ret=(ret+x)%mod; 23 x=x*2%mod; 24 y>>=1; 25 } 26 return ret%mod; 27 } 28 LL POW(LL a,LL p,LL mod){ 29 LL ans=1; 30 while(p>0){ 31 if(p%2) ans=qmul(ans,a,mod); 32 p>>=1; 33 a=qmul(a,a,mod); 34 } 35 return ans%mod; 36 } 37 bool MR(LL p){ 38 for(int i=0;i<5;i++){ 39 if(f[i]>=p) break; 40 if(POW(f[i],p-1,p)!=1)return 0; 41 LL pp=p; 42 pp--; 43 while(pp%2==0){ 44 pp=pp/2; 45 LL y=POW(f[i],pp,p); 46 if(qmul(y,y,p)==1 && y!=1 && y!=p-1) 47 return 0; 48 } 49 } 50 return 1; 51 } 52 int main() 53 { 54 freopen("!.in","r",stdin); 55 freopen("!.out","w",stdout); 56 int T;scanf("%d",&T); 57 while(T){ 58 T--;LL a; 59 scanf("%lld",&a); 60 if(MR(a)) printf("Yes\n"); 61 else printf("No\n"); 62 } 63 return 0; 64 }
