建立“二分查找”的通用模型
案例
[5, 7, 7, 8, 8, 10]
返回非递减数组中第一个 ≥8 的数的位置，如果所有数都<8，返回数组长度
暴力做法：遍历每个数，询问是否 ≥8？ 时间复杂度 O(n)
二分查找的模型
红蓝染色法：约定如下
≥ target 表示在 target 右侧标记为蓝色
＜ target 表示在 target 左侧标记为红色
1. 左闭右闭
func lowerBound(nums []int, target int) int {
left := 0
right := len(nums) - 1
// 闭区间[left, right]
for left <= right { // 区间不为空，继续轮询查询目标
// right - left 防止溢出
mid := left + (right - left) / 2
/*
循环不变量(即通过这次循环可以得知的具体不变的信息)
nums[left] < target
nums[right] >= target
*/
if nums[mid] >= target {
// 范围缩小到[left, mid-1]
right = mid - 1
} else {
// 范围缩小到(mid+1, right)
left = mid + 1
}
}
// 此时 left 等于 right + 1
// 因为 nums[left - 1] < target 且 nums[left] >= target，所以答案是 left / right + 1
return left
}
2. 左闭右开
func lowerBound(nums []int, target int) int {
left := 0
right := len(nums)
// 左闭右开[left, right)
for left < right { // 区间不为空，继续轮询查询目标
// right - left 防止溢出
mid := left + (right - left) / 2
/*
循环不变量(即通过这次循环可以得知的具体不变的信息)
nums[left] < target
nums[right] >= target
*/
if nums[mid] >= target {
// 范围缩小到[left, mid)
right = mid
} else {
// 范围缩小到(mid+1, right)
left = mid + 1
}
}
// 此时 left 等于 right
// 因为 nums[left - 1] < target 且 nums[left] >= target，所以答案是 left / right
// 循环结束后 left == right
return left
}
3. 左开右开
func lowerBound(nums []int, target int) int {
left := -1
right := len(nums)
// 开区间 (left, right)
for left + 1 < right { // 区间不为空，继续轮询查询目标
// right - left 防止溢出
mid := left + (right - left) / 2
/*
循环不变量(即通过这次循环可以得知的具体不变的信息)
nums[left] < target
nums[right] >= target
*/
if nums[mid] >= target {
// 范围缩小到(left, mid)
right = mid
} else {
// 范围缩小到(mid, right)
left = mid
}
}
// 此时 left 等于 right - 1
// 因为 nums[right - 1] < target 且 nums[right] >= target，所以答案是 right
return right
}
4. 总结
1. 左闭右闭
left=0, right=len(nums)-1
区间不为空的循环条件：left ≤ right
mid ≥ target: right = mid - 1
mid < target: left = mid + 1
2. 左闭右开
left = 0, right = len(nums)
区间不为空的循环条件: left < right
mid ≥ target: right = mid
mid < target: left = mid + 1
3. 左开右开
left = -1, right = len(nums)
区间不为空的循环条件：left + 1 < right
mid ≥ target: right = mid
mid < target: left = mid
举一反三
1. 获取第一个大于等于 target
ans = f(x)
2. 获取第一个大于 target
ans = f(x+1)
3. 获取最后一个小于 target
ans = f(x) - 1
4. 获取最后一个小于等于 target
ans = f(x+1)-1
func TestLowerBound(t *testing.T) {
nums := []int{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
target := 5
// 找第一个大于等于 target 的下标 5
fmt.Println(lowerBound(nums, target))
// 找第一个大于 target 的下标 6
fmt.Println(lowerBound(nums, target+1))
// 找最后一个小于等于 target 的下标 5
fmt.Println(lowerBound(nums, target+1) - 1)
// 找最后一个小于 target 的下标 4
fmt.Println(lowerBound(nums, target) - 1)
}
题目
以如下题目，来分析二分查找的多种模型(固定模式)
给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。
示例 1：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8 输出：[3,4]
示例 2：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6 输出：[-1,-1]
示例 3：
输入：nums = [], target = 0 输出：[-1,-1]
