377. 组合总和 IV

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本题是爬楼梯的又一变式。
分析样例可知，每次选择的都可以是 $\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{s}$ 中的任一个数，而最后选择完毕的数之和等于 $\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{t}$.

可以认为我们每次从 $\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{s}$ 中选一个数作为往上爬的台阶数，问爬 $\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{t}$ 个台阶有多少种方案。

因此爬楼梯那个题可以认为是本题条件下 $\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{s}=[1,2]$ 的一个特殊情况 ，因为每次只能爬 $1$ 个或 $2$ 个台阶。

实现一、记忆化搜索

定义 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}(\mathrm{i})$ 为爬 $i$ 个台阶的方案数。考虑最后一步爬了 $\mathrm{x}=\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{s}[\mathrm{j}]$ 个台阶，那么问题变成爬 $i-x$ 个台阶的方案数，即 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}(\mathrm{i}-\mathrm{x})$。

所以有 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}(\mathrm{i})=\sum _{\mathrm{j}=0}^{\mathrm{n}-1}\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}(\mathrm{i}-\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{s}[\mathrm{j}])$
（仅在 $\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{s}[\mathrm{j}]⩽\mathrm{i}$ 时成立）

递归边界为 $dfs(0)=1$，只有当不选取任何元素时，元素之和才为 $0$，因此只有 $1$ 种方案。或这样理解：爬 $0$ 个台阶的方案数为 $1$。也可以这样理解：我们从 $\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{t}$ 往下爬，刚好爬到底部（递归边界）此时就找到了一个合法的方案，返回 $1$。

递归入口为 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{t})$，也就是答案。

爬楼梯那个题的递推表示也可以由此来推出，即 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}(\mathrm{i})=\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}(\mathrm{i}-1)+\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}(\mathrm{i}-2)$。

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        int n = nums.size();
        vector<int> memo(target + 1, -1);
 
        function<int(int)> dfs = [&] (int i) -> int {
            if (i == 0) return 1;
            int &res = memo[i];
            if (res != -1) return res;
            res = 0;
            for (auto x : nums) {
                if (x <= i) res += dfs(i - x);
            }
            return res;
        };
        return dfs(target);
    }
};

实现二、递推

注意这里需要开到 $\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{d}$ $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}$ $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 才可以。这是因为递推会把所有状态都计算出来，包括无效状态（无法组成的和），但是记忆化搜索找到的一定是可以组成的状态。（无法组成的和 说的是 无法用于组成 target 的某些序列，比如某个序列的和是 target-100, 但没有 序列能组成 100，所以这个序列对组成和为 target 的序列没有贡献）

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        int n = nums.size();
        vector<unsigned long long> f(target + 1);
        f[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= target; i++) {
            for (auto x : nums) {
                if (x <= i) f[i] += f[i - x];
            }
        }
        return f[target];
    }
};