342. 4的幂

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如果 $n$ 是 $4$ 的幂，那么 $n$ 一定也是 $2$ 的幂。因此我们可以首先判断 $n$ 是否是 $2$ 的幂，在此基础上再判断 $n$ 是否是 $4$ 的幂。

判断是否是 $2$ 的幂可参考：2的幂，这里我们采取n & (n - 1) == 0的判断方法。

方法一：二进制中1的位置

思路与算法

如果 $n$ 是 $4$ 的幂，那么 $n$ 的二进制表示中有且仅有一个 $1$，并且这个 $1$ 出现在从低位开始的第偶数个二进制位上（这是因为这个 $1$ 后面必须有偶数个 $0$）。这里我们规定最低位为第 $0$ 位，例如 $n=16$ 时，$n$ 的二进制表示为 $(10000{)}_2$ 。唯一的 $1$ 出现在第 $4$ 个二进制位上，因此 $n$ 是 $4$ 的幂。

由于题目保证了 $n$ 是一个 $32$ 位的有符号整数，因此我们可以构造一个整数 $\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{k}$，它的所有偶数二进制位都是 $0$，所有奇数二进制位都是 $1$。这样一来，我们将 $n$ 和 $\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{k}$ 进行按位与运算，如果结果为 $0$，说明 $n$ 二进制表示中的 $1$ 出现在偶数的位置，否则说明其出现在奇数的位置。

根据上面的思路，$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{k}$ 的二进制表示为：$(10101010101010101010101010101010{)}_2$，化为16进制是$(\mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{A}\mathrm{A}{)}_{16}$

class Solution {
public:
    bool isPowerOfFour(int n) {
        return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0 && (n & 0xaaaaaaaa) == 0;
    }
};

方法二：取模性质

思路与算法

如果 $n$ 是 $4$ 的幂，那么它可以表示成 $4^x$ 的形式，我们可以发现它除以 $3$ 的余数一定为 $1$，即：$4^x\equiv (3+1{)}^x\equiv 1^x\equiv 1(mod3)$
如果 $n$ 是 $2$ 的幂却不是 $4$ 的幂，那么它可以表示成 $4^x\times 2$ 的形式，此时它除以 $3$ 的余数一定为 $2$。

因此我们可以通过 $n$ 除以 $3$ 的余数是否为 $1$ 来判断 $n$ 是否是 $4$ 的幂。

class Solution {
public:
    bool isPowerOfFour(int n) {
        return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0 && n % 3 == 1;
    }
};