编程之美-2.9-斐波那契数列

1. 简述

    斐波那契数列的递归公式为：f(0)=0，f(1)=1，f(n)=f(n-1)+f(n-2)， n>1。尽可能快的计算f(n)。

2. 思路

    一个就是公式解，算特征方程的方法，好像是线性代数部分的，有点忘了，这里直接给答案吧：根据递归公式，f(n)=f(n-1)+f(n-2)，知道f(n)的特征方程为 x*x = x + 1，根为s1=(1+sqrt(5))/2 和s2=(1-sqrt(5))/2。那么存在A，B使得：f(n)=A*s1^n + B*s2^n，代人f(0)=0,f(1)=1，得到A=sqrt(5)/5，B=-sqrt(5)/5。即f(n)=A*s1 + B*s2。

    另一个就是递归解法，依次来求，O(n)的复杂度。
    还有一个就是在递归解法中，引入矩阵运算：(f(n), f(n-1)) = (f(n-1), f(n-2)) * A，A(0,0)=1, A(1,0)=1，A(0,1)=1，A(1,1)=0。 递推过去：(f(n), f(n-1)) = (f(1), f(0)) * A^(n-1)，对于A^(n-1)的计算是可以保证在log(n-1)级别的。以为n-1的二进制表示有log(n-1)位，计算每个二进制位的数值，然后对于是1的二进制位上的数值相加即可。比如n-1=5，需要计算的就是A^1,A^2,A^4， 而A^5 =  A^1 + A^4。(5的二进制位101)。

3. 矩阵怎么算

    上面A的矩阵是有规律的 (f(n), f(n-1)) = (f(n-1), f(n-2))*A，按照列来看比较容易，A的第一列可以把f(n)搞出来，因此第一列为(1,1)即可，第二列把f(n-1)搞出来即可，因此第二列定为(1,0)。对于扩展中的f(k)=f(k-1)+f(k-2)+f(k-3)，(f(k),f(k-1),f(k-2)) = (f(k-1),f(k-2),f(k-3))*A，第一列搞出来f(k)，因此第一列为(1,1,1)，第二列搞出来f(k-1)，因此第二列定义为(1,0,0)，第三列搞出来f(k-2)，因此定义为(0,1,0)。

4. 对于扩展中求余

    当n很大时，比如n=2^60，如何计算f(n) mod M (M<100000)呢？
    好像见过M比较小的情况，比如m=5的时候，一般可以多推几个数字，后面会出现循环节的，然后根据n和循环节的长度，就能把f(n)对应到f(k)上，k是一个很小的数字。对于M比较大的话，应该也可以用这个方法，不过就是要编程实现循环节的判断了，一般来说对于f(n)=f(n-1)+f(n-2)，依次可以计算f(0),f(1),f(2),...当f(i)=f(0)且f(i+1)=f(1)时，循环节就找到了，即长度为i，f(2^60) = f(2^60 mod i) = f(1024^6 mod i) = f( (1024 mod i)^6 mod i)。直接算2^60可能会溢出，__int64还刚好，不过如果更大__int64也不够。 

4. 参考

    编程之美，2.9节，斐波那契数列