编程之美-2.7-最大公约数问题

1. 简述

    写一个程序，求两个正整数的最大公约数。如果两个正整数很大，有什么简单的方法吗？

2. 思路

    这个书上总结的很全了已经。

    辗转相除法，设f(x,y)表示x与y的最大公因子，如果x=y*k+z，z>0，那么f(x,y)=f(y,z)，如果x=y*k+z，z=0，那么f(x,y)=y，即此时x可以整除y。比如f(6,4)=f(4,2)=2，f(24,18)=f(18,6)=6。

    改进方法，当正整数很大的时候，大数除法比较消耗时间，这里规避大数的除法运算。
    每次调整x，y保证x>=y，然后分情况讨论：
    当y=0时，f(x,y)=x。即x就是上一步可以被整除的因子。
    当x%2=0且y%2=0时，f(x,y)=2*f(x/2, y/2)，即都是偶数。
    当x%2=0且y%2!=0时，f(x,y)=f(x/2, y)，即一个奇数一个偶数。
    当x%2!=0且y%2=0时，f(x,y)=f(x, y/2)，即一个奇数一个偶数。
    当x%2!=0且y%2!=0，f(x,y)=f(x-y, y)，即两个奇数，用减法代替除法。
    实际上用到的是大数之间的减法和大数与非大数的除法，规避了大数之间的除法。

3. 代码

    省略了。

4. 参考

    编程之美，2.7节，最大公约数。